巧用“赋值法”求二项展开式的系数和

河南 王莲霞

(作者单位：河南省郑州市《中学生学习报》社有限公司)

巧用“赋值法”求二项展开式的系数和

本文拟通过归类举例的形式，具体说明：如何借助“赋值法”，巧解二项展开式中的有关系数求和问题，以帮助读者进一步拓宽解题思维，提升解题技能.

类型一、关注具体的“赋值”方式，巧解二项展开式中的系数求和问题

一般地，设函数f(x)=(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*)，则常用的赋值方式有：

(1)取x=0，得a0=f(0)；

(2)取x=1，得a0+a1+a2+…+an=f(1)，即(a0+a2+a4+…)+(a1+a3+a5+…)=f(1)；

(3)取x=-1，得a0-a1+a2-…+(-1)nan=f(-1)，即(a0+a2+a4+…)-(a1+a3+a5+…)=f(-1)；

(4)借助平方差公式可得(a0+a2+a4+…)2-(a1+a3+a5+…)2=f(1)·f(-1)；

1. 取x=1，巧解展开式中各项系数和问题

【例1】(2016·北京模拟)已知两个正数a,b满足(ax+2b)2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016，且二项展开式中各项的系数之和为1，则ab的最大值是

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【评注】本题求解过程应注意两点：一是通过适当“赋值”可得到二项展开式中各项的系数之和；二是通过适当“变形”可灵活利用基本不等式巧求最大值.

2.取x=±1，巧解展开式中奇数项、偶数项系数和问题

【例2】已知(1+x-x2)3(1-2x2)4=a0+a1x+a2x2+…+a14x14.

(1)求a1+a3+a5+…+a13的值；

(2)求(a0+a2+a4+…+a14)2-(a1+a3+a5+…+a13)2的值.

【解析】取x=1，则a0+a1+a2+…+a14=1

⟹(a0+a2+a4+…+a14)+(a1+a3+a5+…+a13)=1； ①

取x=-1，则a0-a1+a2-a3+…-a13+a14=-1

⟹(a0+a2+a4+…+a14)-(a1+a3+a5+…+a13)=-1. ②

(1)由①-②化简得a1+a3+a5+…+a13=1；

(2)由①×②得(a0+a2+a4+…+a14)2-(a1+a3+a5+…+a13)2=-1.

【评注】本题求解过程应注意两点：一是按an的下标归类，下标为偶数的放在一起，下标为奇数的放在一起；二是关注两个等式之间的“加、减、乘、除”变形，以便迅速获解.

3.取x为其他数值，巧解展开式中奇数项、偶数项系数和问题

【例3】(2016·西安模拟)已知等式a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+a4(x+1)4+a5(x+1)5=(x+2)5+(x-1)3对任意x∈R都成立，则a2+a4= .

【解析】取x=0，则由题设得a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+(-1)3=31

⟹(a0+a2+a4)+(a1+a3+a5)=31 . ①

取x=-2，则由题设得a0-a1+a2-a3+a4-a5=-27

⟹(a0+a2+a4)-(a1+a3+a5)=-27. ②

于是，由①+②化简得a0+a2+a4=2.

又∵取x=-1，则由题设得a0=-7，故所求a2+a4=2-a0=2-(-7)=9.

【评注】上述解答过程中①②两式的获得，关键在于灵活“赋值”；具体“赋值”时，必须考虑(x+1)n(其中n∈N*)的化简结果是否为1或-1.

类型二、借助求导与赋值的“约会”，巧解二项展开式中的系数求和问题

设函数f(x)=(ax+b)n,n∈N*，则由二项式定理可知f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn.于是，借助求导、赋值的处理技巧可得许多有趣的结论.

例如：求导得f′(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+nanxn-1，(*)

取x=1，则有a1+2a2+3a3+…+nan=f′(1)； ①

取x=-1，则有a1-2a2+3a3-…+(-1)n-1nan=f′(-1). ②

对(*)式两边同乘以x得xf′(x)=a1x+2a2x2+3a3x3+…+nanxn，

求导得[xf′(x)]′=a1+22a2x+32a3x2+…+n2anxn-1，

又[xf′(x)]′=f′(x)+xf′′(x)，

所以取x=1，

则有a1+22a2+32a3+…+n2an=f′(1)+f′′(1). ③

按照这样的处理思路(乘x、求导、赋值)，有兴趣的读者还可以继续探究.

1.直接利用相关结论，巧解展开式中有关系数和问题

【例4】若(2x-3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5= ，a1+4a2+9a3+16a4+25a5= .

【解析】设函数f(x)=(2x-3)5，则求导得f′(x)=10(2x-3)4，f″(x)=80(2x-3)3.于是，根据上述结论①即得a1+2a2+3a3+4a4+5a5=f′(1)=10；根据上述结论③即得a1+4a2+9a3+16a4+25a5=f′(1)+f″(1)=10+(-80)=-70.

【评注】本题还可以利用二项式定理先将(2x-3)5展开，分别得到a1,a2,a3,a4,a5的值，然后再求解目标问题，显然如此求解整个过程较烦琐！

2.借助求导与赋值的灵活性，巧解展开式中有关系数和问题

【例5】已知(1-x)2016=a0+a1(x-3)+a2(x-3)2+…+a2016(x-3)2016(x∈R)，则a1-2a2+3a3-4a4+…+2015a2015-2016a2016= .

【解析】设函数f(x)=(1-x)2016，则求导得f′(x)=-2 016(1-x)2015.

又对f(x)=a0+a1(x-3)+…+a2016(x-3)2016求导得f′(x)=a1+2a2(x-3)+3a3(x-3)2+…+2 016a2016·(x-3)2015.

取x=2得a1-2a2+3a3-4a4+…+2 015a2015-2 016a2016=f′(2)=-2 016(1-2)2015=2 016.

【评注】本题具体求解时，也可以这样处理：直接对已知等式两边同时求导，然后再赋值.显然，整个解题的关键在于——先求导(以x为自变量)，再赋值(注意赋值的灵活性).

(作者单位：河南省郑州市《中学生学习报》社有限公司)