认识点、线、面在函数解题中的关联——以“反比例函数图象与性质（面积专题）”一课为例

江苏省太仓市沙溪第一中学 龚利强

认识点、线、面在函数解题中的关联
——以“反比例函数图象与性质（面积专题）”一课为例

江苏省太仓市沙溪第一中学 龚利强

点、线、面是几何学里的概念，是平面空间的基本元素。在函数当中的运用，更是充分地体现出了点、线、面三者之间的关联作用及数形结合的数学思想。本文以八年级“反比例函数图象与性质（面积专题）复习课”的课堂教学过程为例，体现点、线、面几何元素在反比例函数中数与形的结合。

一、数与形的结合

师：同学们知道几何中平面空间的基本元素有哪些吗？

学生总结：（1）几何中的基本元素是：点、线、面；（2）学习立体几何的时候知道点动成线，线动成面，面动成体。

师：同学们总结得很到位，我们学习反比例函数，它的图象在平面直角坐标系中是什么？怎么理解反比例函数图象的形成？

学生总结：反比例函数的图象叫双曲线，可以将满足反比例函数表达式的数对（x，y）看作平面直角坐标系中的点，由无数个满足函数表达式的数对形成的点，在平面直角坐标系中就形成了两条分布在不同象限里的曲线，我们称其图象为双曲线。

师：总结得很好，了解反比例函数图象的成因，便于我们对反比例函数的认识从数式深入到图形分析的平台上。下面我们先一起看题目。

过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k|。这是系数k的几何意义，明确了k的几何意义，会给解题带来许多方便。（请学生思考图二中直角三角形的面积和系数k的关系）

师生总结归纳出k的几何意义。推导几何意义的原理由点坐标表示线段，再由线段表示出面积，充分体现了数与形的结合。反比例函数是历年中考数学中的一个重要考点章节，且多以大题的形式出现，常常结合三角形、四边形等相关知识综合考查，所以应该引起广大师生的重视。反比例函数中k的几何意义也是其中一块很重要的知识，常在中考选择题、计算大题中进行考查，这类考题大多考点简单但方法灵活，目的在于考查学生的数学图形思维。掌握反比例函数中k的几何意义这一知识要点，灵活利用这一知识点解决数学问题，并熟悉与反比例函数中k的几何意义的常见考查方式和解题思路。

题目分析：初中数学教学的过程中常会遇到有关求平面图形面积的问题，对不规则的几何图形，常会用割、补、拼、凑使它变成可以计算出面积的规则图形，在一些证明题中，我们也常会通过“割”、“补”来寻求解题思路，“割”、“补”法是几何中的重要思想方法，在面积和体积的教学中都有着广泛的应用。

补全图案方法：经过添加辅助线把原图形变为规则图形，使问题变得易解。此题利用直线与双曲线的两个交点A、B补全成规则图案：直角三角形，进而利用面积和差求出△AOB的面积。

图形分割方法：将不规则图形利用坐标轴分割成几个规则图形再求面积。

在数学解题中灵活运用“割”、“补”方法不仅有利于提高学生分析问题、解决问题的能力，还将有助于对学生进行数学化归思想的渗透。

如下图，分割成△AOC和△BOC，分别以OC作底边，过A作过AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，则△AOC和△BOC的面积之和即为所要求的面积。

利用坐标轴分割三角形，这里可以得出一个分割三角形的基本图形求面积的方法：

点评：求解函数图象与图形面积相关问题要由点坐标表示线段，由线段表示面积，突出点、线、面在图形问题中的关联。

二、知识迁移：突出点、线、面在解题中的运用如图，双曲线上第一象限内动点P，与直线和坐标轴交点围成的△PCD的面积是否存在最大值与最小值？若存在，请写出来并说明理由。

此题是动点问题，可以借助几何画板直观地来判断，点P在第一象限曲线上移动时，△PCD的面积是否存在最大值和最小值。通过点P的移动，让学生头脑中形成动图的空间想象思维。

观察点P的横坐标由小变大，△PCD的底边CD不变，高PH是由大变小，再由小变大，过程中存在P点的一个位置距离CD最近，此时△PCD存在面积的最小值。而P点在整个移动过程中，△PCD的面积没有最大值。

动点P的坐标决定了△PCD面积的最小值。求△PCD面积的最小值的方法如下：

面：表示面积的关系式为：

函数的面积问题归根结底是由点到线，由线及面，体现数学知识的联系性，学习就要将知识融会贯通、灵活运用。注重知识的迁移，利用数形结合引导学生逐步深入思考，充分培养了学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象和数据分析的数学核心素养。进入初中后，学生的思维将从形象思维逐步过渡到以经验型为主的抽象思维，进而发展到以理论型为主的抽象思维。在这个过程中，函数内容是发展学生数学核心素养的关键。