高考视角下的数列大题的求解

项先春

摘要：数列是高考中的热点考题，常考求数列通项和前n项和.现将近几年浙江高考数学中求数列通项和前n项和的求法进行总结，以供广大考生复习借鉴之用.

关键词：数列求和；构造法；分组求和法；裂项相消法；错位相减法

一.融会贯通，求得通项是关键

下面就数列求通项的几种方法进行分析.

1、公式法

等差、等比数列，直接用公式求解，也是其他几种求数列通项类型题的解题基础.

例（2015浙江高考）已知数列{an}和{bn}满足，a1=2，an+1= 2an （n∈N*），

（1）求an；

解：（1）由a1=2，an+1=2an得an=2n

又如（13年浙江高考）等差数列{an}中公差为d，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列.（1）求d，an.

2、累加法、累乘法

（1）递推公式形如an+1-an= f（n）或者可以化简为此种形式的，且f（1）+ f（2）+…+ f（n）可求，则用累加法求an.

例（1）已知数列{an}满足a1=1，且an+1-an=n+1，（n∈N*）求数列{an}的通项公式.

（2）已知数列{an}满足：a1=1， an+1-an=2n，求数列{an}的通项公式.

解：（1）由题意有

3、利用互化解决

例（2016·浙江高考）已知数列{an}，其前n项和为Sn.且 .

（I）求通项公式an；

解：（1）由题意得 则

又当n ≥ 2时，由an+1-an=（2Sn+1）-（2Sn-1+1）=2an，得an+1=3an，

所以数列{an}的通项公式为an=3n-1，n∈N*.

这类题型高考反复在考，要注意书写格式，务必验证n=1时的情形，如果不成立，通项以分段函数的形式表示.

4、构造法

构造法是将递推公式进行变形，转化为等差或等比数列，再求通项.主要包含以下3种类型.

1、递推公式形如an=pan-1+q，其中p、q为非零常数.

当p=1，则

当p≠1，则将其化为an+λ=p（an-1+λ）的形式；解出λ，再化为等比数列求解（待定系数法）。

例（16·嘉兴市检测）数列{an}中，已知a1=1，当n≥1时an+1=2an+1，求数列{an}通项公式。

对于此种题型或者有些学生不明白为什么要将递推公式变形为an+λ=2（an-1+λ），可以通过列举进行说明：数列1，3，7，15，31，…不是等差数列也不是等比数列，但各项都加上1后，变为数列2，4，8，16，32，…它是等比数列。对于这类数列，将其递推公式化为an+λ=2（an-1+λ）形式，以构造成等比数列，从而求出数列通项an。

2、递推公式形如an=pan-1+qn，其中p为非零常数.

这类数列，在等式两边同时除以qn，将其化为的形式，将看成整体（或换元），再用构造法类型1：

bn=pbn-1+q求解.

例：数列{an}中，已知a1=1，当n≥1时，an+1=2an+2n+1，求数列{an}通项公式.

解：因为an+1=2an+2n+1，

是公差为1的等差数列，首项为

3、递推公式形如，其中k、m为非零常数.可以对等式两边同时取倒数，变为，将 看成

整体（或换元），再用构造法类型1：bn=pbn-1+q求解.

例（16·宁波二模）已知数列{an}满足，求数列{an}通项公式.

解：对等式 两边同时取倒数，得，

是公差为1的等差数列，首项是

上面所归纳的6种求数列通项的方法，都要求我們老师让学生理解其知识发生的过程和结果，能根据具体的题型选择适当的方法.

二.明察秋毫，数列求和赢收官

浙江高考中最常考察的是错位相减法和裂项相消法以及分组求和法.

1、裂项相消法求和

主要用于：

（1）形如型，

（2）形如型，

例（2015·全国卷1） Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，

（1）求数列{an}通项公式，

（2）设求数列{bn}前n项和Tn.

解：（1）由an与Sn的转化，可得an=2n+1

（2）由an=2n+1可知，知

2、错位相减法求和

主要用于：求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列.

例（2015·浙江高考）已知数列{an}和{bn}满足，

（1）求an与bn；

（2）记数列{an bn}的前n项和为Tn，求Tn.

注意：①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应将两式按q次数对齐，避免两式相减时看错列；②作差后，弄清等比数列部分的项数.

3、分组转化法求和

主要用于：可根据数列通项的结构进行拆分，拆分成几个可以求和的新数列的和与差，从而求得原数列的和.在含有字母的数列中，需对字母的进行分类讨论.

例（2016·浙江高考）已知数列{an}，其前n项和为Sn.且 S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*.

（1）求通项公式an；

（2）求数列{|an-n-2|}的前n项和.

解：（1）解略（由an与Sn的转化，易得an=3n-1，n∈N*）

（2）设bn=|an-n-2|=|3n-1-n-2|，n∈N*则b1=2，b2=1

当n≥3时，由于3n-1>n+2故bn=3n-1-n-2，n≥3

设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1=2，T2=3

求数列的前n项和除了上面介绍的三种常考方法外，还有“公式法求和，倒序相加法求和，合并法求和，利用通项求和”等方法.

数列通项与数列求和是历届高考中的热点考题.本文对浙江数学高考中求数列通项和前n项和的求法进行总结，以供广大考生复习借鉴之用。

参考文献：

[1]邱家荣.递推数列的通项公式求法.新课程·教师，2016-6期

[2]张进.求数列通项公式的几种常用方法.考试周刊，2017-04期

[3]蔡勇全.巧设“常数数列”简化七类递推数列的通项公式.数理化·高中版，2016-10期

[4]钱军.高中数学中求和问题的探究.中学生数理化·学研版，2015-04期

[5]赫缨淋.浅谈数列求和方法.中学生数理化·学研版，2015-03期endprint