以点带面 精彩纷呈

刘媚

【摘要】用“待定系数法”求二次函数解析式，用“数形结合”“分类讨论”的思想复习二次函数的性质，这种以点带面的数学复习，能切实提高复习效率。

【关键词】 二次函数；知识发散；综合运用

二次函数部分的知识在中考中占相当重要的位置。学生学时觉得吃力，教师教时觉得费劲。我在听了一位老教师的“二次函数复习课”后深受启发，借鉴这位老师的复习过程，用学案的形式贯穿课堂，学生学得轻松，步步深入，效果甚佳。现我把这些略加梳理编辑成文，供数学同仁们参阅，能提出更完善的建议。

一、导入阶段

问题一：已知二次函数的图像经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（2，-3），求此二次函数的解析式，并画出它的图像。

【点评】用待定系数法求二次函数解析式是必须掌握的基础题。解决方法有三种：（1）一般式y=ax?+bx+c（a≠0）、（2）顶点式y=a（x+h）?+k（a≠0）、（3）两根式y=a（x-x1）（x-x?）（a≠0）。选择哪一种方法必须根据问题的要求而定，而对于本题来说运用两根式更便捷。

【解】设所求二次函数为y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）

y=a（x+1）（x-3）

又过点c： -3=a（2+1）（2-3）

解之： a=1

∴ 所求二次函数解析式为y=（x+1）（x-3）

即 y=x?-2x-3

图像略，但在后面将在此图像上不断探究。

二、回顾性质

问题二：针对所求的 y=x?-2x-3回顾思考下列问题 ①开口方向； ②对称轴方程； ③顶点坐标； ④最大（小）值； ⑤增减性。

【点评】此处可以师生互动给出二次函数的性质，同时说明其性质取决于两个方面，一方面是顶点坐标，把上述二次函数配方得y=（x-1）?-4联想到顶点式y=a（x+h）?+k（a≠0）能得到对称轴方程，顶点坐标。另一方面由a决定开口方向，最大（小）值和增减性，同时采用“数形结合”“分类讨论”的思想解决问题将能使学生更能理解。

【解】把y=x?-2x-3配方成y=（x-1）?-4

① ∵a=1>0 ∴抛物线开口向上

②对称轴方程为x=1

③顶点坐标（1，-4）

④当x=1时，有最小值为-4

⑤∵a>0 ∴当x>1时，y随着x的增大而增大

当x<1时，y随着x的增大而减小

三、知识发散

问题三：由y=x?-2x-3的图像，设抛物线与y轴的交点为D，顶点坐标为P，①求直线BD的解析式；②△APB是等腰三角形吗？说明理由；③△BDP是何形状的特殊三角形？④△AOD和△BDP相似吗？说明理由；⑤试求四边形ABPD的面积。

【点评】二次函数知识难在把几何图形镶嵌到直角坐标系中，与二次函数图像巧妙地结合在一起。教师必须有层次地把直角三角形、等腰（等边）三角形、特殊的四边形、圆等分别量入进行分析，能解决基础性的综合题。而本题③中还将与勾股定理相结合，④中相似三角形相结合，⑤中学生讨论最为热烈，方法也最多，老师要小结出最好方法。

【解】①由图形信息可得点B（3，0） 和D（0，-3）

设BD的解析式为y=kx+b

∴直线BD解析式为：y=x-3

②∵抛物线是关于直線x=1成轴对称图形

∴ AP=BP

∴△APB是等腰三角形

③由勾股定理易得：BD?=18 PD?=2 PB?=20

∴BD?+PD?=PB?

∴△BDP是以PB为斜边的直角三角形

④∵= ==

∴=

∵∠AOD=∠BDP=90?

∴△AOD∽△PBD

⑤S四边形ABPD=S△OBP+S△ODP+S△AOD

==9

四、综合运用

问题四：根据y=x?-2x-3的图像，作直线x=a（0

【点评】针对本题中求线段EF的最大值，实际上就是确定点E和F的坐标，用纵坐标“上减下”的方法就可。

【解】当x=a时，点E（a，a-3）点F（a，a?-2a-3）

EF=（a-3）-（a?-2a-3）=-a?+3a=-（a-）?+

∴当a=时，线段EF最大值为

而△BDF的面积的最大值也迎刃而解

S△BDF=

=

如果学生学有余力或可供学生在课外思考，还可有备用题，如：①在抛物线上取点Q，解使S△ABQ= S△ABD ；②求经过点A、B、P 三点的圆的圆心坐标。

不妨请你试一下定能有所收获。