基于CPFS结构理论下的初中数学教学实践

沈小军

[摘 要] CPFS结构理论在初中数学教学中的运用，能够指导学生构建网络化的知识体系，帮助学生理解知识并实现迁移等，进而促进学生数学素养和能力的全面发展. 在教学中，教师可基于CPFS结构理论，采用变式教学、分层教学、生活化教学、问题链教学等途径改善教学中教与学的关系，实现教学效果的最优化.

[关键词] CPFS结构理论；认知结构；教与学

CPFS结构理论是从一个全新的角度来研究数学教学中教与学的规律，是数学学习特有的认知结构，它是由概念域、概念系、命题域、命题系形成心理结构的简记. 其强调在教学中通过教师教学策略的实施来完善学生的认知结构，帮助学生更好地理解数学知识，并在运用中实现有效迁移，促进学生数学能力的发展. 这种理论的运用能够改善学生学习认知结构，力图从多角度、多层面强化学生对数学知识的理解，根据各个命题之间的连接点构建网络知识体系，方便学生在体系中深化对数学知识的理解，从而提高数学学习成效. 因此，教师可基于CPFS结构理论，采用变式教学、分层教学、生活化教学、问题链教学等策略改善学生认知结构，以促进学生数学思维品质的发展.

变式教学，构建多角度思维方式

CPFS结构理论认为数学知识点之间存在某种抽象的等值关系，而这种抽象关系中蕴含着某种数学思维方法，即体现了运用数学知识的思路. 学生要想掌握其中的思维方法，准确理解数学知识是前提. 数学理解是一个认知建构、意义建构的动态过程，需要学生在头脑中建构某一命题的命题系，使学生从多种角度更好地理解数学原理和知识，这也是变式教学的本质. 教师在组织教学时，可让学生从多角度、多方面理解数学知识，以原有认知探索新问题解决的途径，从而构建知识点之间的网络构架.

以“全等三角形”教学为例，要求学生理解全等三角形的概念，教师通过呈现不同的教学形式从多方面强化学生对概念的理解. 首先，教师可以多媒体展示画面优美的风景图片，而这些美丽的风景图片可以洗出千万张完全一样的照片，以此引入全等概念. 接着，教师组织学生动手实际操作，让学生从白纸上任意挖出一个图形，并阐述图形与纸上的空心部分有什么关系，帮助学生构建初步的全等图形概念. 然后通过全等三角形的概念，让学生制作两个完全一样的三角形，即学生将三角形通过平移、旋转、翻转等获得另一个完全一样的三角形，从而实现问题的解决. 最后，教师引导学生对全等三角形的概念进行总结和归纳，并对全等三角形有哪些特点进行分析，以构建学生知识网络体系，强化学生对概念的理解. 教学中，教师以多媒体展示，动手实际操作，总结归纳等多种形式来强化变式教学，让学生从多角度辨别不同的表达形式，促使学生掌握了解决数学问题的思想方法.

分层教学，强化自我效能感

CPFS结构理论有助于改善学生的认知结构，而学生的认知结构又受到诸多因素的影响，如学生原有的知识水平、学习特点、心理发展规律、认知能力等. 这就决定了教师在教学中要根据学生的个体差异组织教学，以充分发挥学生的主观能动性. 由此，分层教学的引入便顺理成章. 分层教学是以学生实际认知水平为出发点，探寻学生学习知识与教师教授知识的最近发展区，以强化不同层次学生的自我效能感，增强学生学习自信，提高学习成效.

立足生活，实施生活化教学

根據CPFS结构理论可知，知识的理解和构建是学习的本质，而这种理解和构建并不是空中楼阁，而是学生已有生活经验对新知识的学习产生的影响，即数学知识根植于生活，并高于生活. 因此，采用适度的生活化教学有助于学生向实践经验回归，能够在学生已有经验的基础上获得新的经验. 教师可选择贴近学生生活的场景，创设熟悉的课堂情境，让学生在熟悉的情境中，激发主动学习的兴趣，激活原有的知识和思维，从而让学生的知识结构更加合理化，使学生构建理论与实践运用之间的对应关系，从而提高学生问题解决能力.

以“勾股定理的应用”教学为例，要求学生利用勾股定理解决实际问题，并积累运用数学知识解决生活实际问题的方法. 教师以展示犍为岷江大桥的图片激起学生对祖国的热爱之情，并借助斜拉桥上的直角三角形导入勾股定理的实际运用. 教师以学生熟悉的生活场景引导学生在脑中构建知识体系，激活学生原有的认知，即勾股定理的内容、性质、数形结合思想、图形构造等，让学生构建新旧知识之间的网络体系，在数形结合思想的基础上，从实际问题中探寻可运用的直角三角形，把实际问题转化成勾股定理的几何模型，然后依据数理实现问题的解决. 学生将实际问题转换成相应数学模型解决问题的过程，就是学生深入理解数学知识、构建数学思维的过程. 学生头脑中的CPFS结构形成了有序的网络体系，在数学逻辑网络体系中通过提取有效的信息解决了实际问题，从而达到学生学习新知识、掌握新方法的目的.

问题链教学，改善学生认知结构

CPFS结构的完善利于数学知识的有效迁移，以解决实际问题，而数学知识的积累往往渗透在解决问题过程中，因此，完善学生的认知结构也要在解题过程中完成. 仅仅依靠传统封闭的教学无法达到刺激和激活学生原有认知的目的，因此，教师可采用问题链教学帮助学生进行系统化的命题学习，借助一系列的问题深化学生对命题的理解，促进学生命题系的形成，以实现问题解决的目的.

以“探索三角形全等的条件”教学为例，教师可以探索三角形全等（SSS）的条件为主题，设置一系列的问题引导学生经历发现、实践、探索、总结等学习过程，让学生在问题解决中深化对三角形全等命题的理解. 教师以探索“针对两个三角形，六个元素中至少有几个元素相等，才能得出两个三角形全等？”让学生产生探究的兴趣. 接着，教师抛出一系列问题：“只有一个对应相等的元素是否全等？只有两个元素分别对应相等的三角形是否一定全等？”不断深化学生对问题的探究程度. 问题中，教师按照满足条件的个数引导学生分类讨论，以渗透分类思想. 学生通过画图、仔细观察、比较、相互交流等得出结论. 紧接着，教师针对“两个三角形中如有三组对应元素分别相等，是否能得出全等？都有哪些情况？”等问题，让学生以小组的方式进行讨论，其探究过程同前面的过程. 学生在亲自经历实践的过程中，掌握了分类的思想方法，这使学生知识的联结更加有力且富有张力，更加便于学生灵活运用，从而有效改善了学生的CPFS结构，提高了学生创造性解决问题的能力.

总之，CPFS结构理论注重个体头脑内化知识网络体系的构建，其构建的过程不仅仅是知识点的连接，更蕴含着丰富的数学思想和解决问题的策略. 教师应深刻领会CPFS结构理论的精髓，在实施变式、分层、生活化、问题链等教学中帮助学生构建CPFS结构，以激活学生原有的认知，强化对数学知识命题的理解. 在经历生长、停滞、再生长这种递进式螺旋上升的思维过程中，用CPFS 结构不断进行重组、改建以完善学生个体认知结构，并趋于合理化，提高学生问题解决的水平，以促进学生数学创新思维能力的发展.