排列组合中“算错”的两大原因分析*

●侯胜哲

(华南师范大学数学科学学院,广东 广州 510631)



排列组合中“算错”的两大原因分析*

●侯胜哲

(华南师范大学数学科学学院,广东 广州 510631)

文章对高中学生在排列组合问题中出现的常见错误进行分析整理，挖掘出错的深层原因，帮助学生真正理解解决排列组合问题的思考方式.同时针对常见的两种错误分别给出纠正办法，介绍了容斥原理和分类讨论的思想,帮助学生解决在排列组合问题中总是算错的疑惑.

排列组合；容斥原理；分类讨论；多加漏减

在解决排列组合问题上，学生常常会遇到这样的情况，认为自己的分析很有道理，但是一对照参考答案发现并不一样，却找不出到底哪里出了问题，这该怎么办呢？笔者针对这样的问题进行探讨，找出逻辑上容易疏漏的因素分析了两大原因，供读者解惑.

1 两条件可以叠加，用容斥原理改善

例1 有数1,2,3,4,5,6,7，求作成1与2相邻或3与4相邻的全排列个数.

可是一对照参考答案后发现答案是2 400，上面的分析错在哪儿？教师上课的例题“有数1，2,3,4,5,6,7，求作成1与2相邻的全排列个数”不就是用捆绑法做的吗？难道出什么问题了吗？思来想去发现，多加了一个条件就行不通了，加了“或3与4也相邻”，似乎就有一部分多算了，多算了什么呢？请大家先自己思考一下.下面先介绍“容斥原理”，学了这个原理后，学生对这样的题目就会有更深的认识.

容斥原理可以有多种方法来讲解，但笔者认为容斥原理的核心就是“画图”，于是笔者通过图像来讲解.

图1

如图1，如果被计数的事物有3类，用集合A,B,C来表示，那么各个集合的元素个数就是各个类可能出现情况的种数，用加绝对值来表示，如|A|表示A类可能出现的情况种数.再结合图形语言(韦恩图)，用面积表示集合的个数.

要求A，B，C这3类都发生可能出现的情况种数|A∪B∪C|，即将A,B,C这3个集合的元素个数相加，但发现两两重叠的部分重复计算了1次，于是减去A∩B，A∩C和B∩C，但这样一来，3个集合公共部分又被重复计算了1次，于是加上|A∪B∪C|，即|A∪B∪C|= |A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-

|B∩C|+|A∩B∩C|.

这样叙述未免抽象，下面用一道例题来说明.

图2

例2 一个班有45个同学，喜欢语文的有25人，喜欢数学的有22人，喜欢外语的有16人，其中既喜欢语文又喜欢数学的人数为6人，既喜欢数学又喜欢外语的有8人，有3个同学一科也不喜欢，2个人喜欢所有科目，问既喜欢语文又喜欢外语的有几人？

解 先画图(如图2所示)，由于|A∪B∪C|= |A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-

|B∩C|+|A∩B∩C|，即喜欢语文或数学或外语的人数=喜欢语文的人数+喜欢数学的人数+喜欢外语的人数-既喜欢语文又喜欢数学的人数-既喜欢语文又喜欢外语的人数-既喜欢数学又喜欢外语的人数+既喜欢语文又喜欢数学又喜欢外语的人数.

因此，既喜欢数学又喜欢外语的人数有9人.

通过例2可以发现，会出现即喜欢数学又喜欢语文的情况，也就是说，喜欢数学和喜欢语文这两种类别是可叠加的，这时往往会想到容斥原理.容斥原理是解决可叠加分类的利器，其基本原理是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时叠加计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无叠加，简单来说先“容”再“斥”.当然在解题中我们往往用图像来表示，并不直接用到其基本原理.

了解了容斥原理，再回到例1，1与2相邻和3与4相邻这两个分类是可叠加的吗？也就是说会有“在一次排列中，出现1与2相邻且3与4相邻”的情况吗？显然会出现.因此在例1中，1与2相邻和3与4相邻这两个分类可叠加，1与2相邻且3与4相邻可能算了多遍或少算了，故可以借助容斥原理来梳理.

2 两条件不独立，用分类讨论来改善

还有一种情况，是之前的结果对之后可能发生的情况产生影响，解题时往往没有考虑到这种影响而使题目解错.

例3 求万位数字不是5，个位数字不是2，且各位数字相异的5位数的个数.

图3

分析 如图3，万位不是5，则可能是1,2,3,4,6,7,8,9这8个数；个位不是2，且由于各位相异，因此也不能是万位数取过的数，加上0，则有8种情况；千位数不能是个位数和万位数，则有8种情况；百位数有7种情况，十位数有6种情况，故有8×8×7×6×8=21 504种情况.

但是参考答案给的是21 840种情况，问题出在哪里呢？仔细一想发现：假如万位是2，这时个位就不是8种情况了.此时，个位可以填0,1,3,4,5,…,9，这说明万位发生的结果(万位数字不是5)可以影响到个位发生的结果(个位数字不是2).

因此，“万位数字不是5”和“个位数字不是2”这两个条件不独立.如何判断两个条件是否独立呢？其中一个条件“已经”发生了，观察它是否对另一条件产生影响(而不是像判断可叠加时，强调两个条件是否有重叠的部分，是否多加了或少加了，这是时空上的差别).

那么怎么办呢？可以用“分类讨论”把各个情况分开来，以达到去多的目的.

1)若2在万位，则万位有1种情况，个位有9种情况，千位有8种情况，百位有7种情况，十位有6种情况，共1×8×7×6×9种情况.

2)若2不在万位，则万位有7种情况，个位有8种情况，千位有8种情况，百位有7种情况，十位有6种情况，共7×8×7×6×8种情况.

综上所述，满足题意的5位数共有1×8×7×6×9+7×8×7×6×8=21 840种情况.

不少学生常犯上面的错误,而涂色问题也属于这种类型的问题，常见的有点着色问题和面着色问题.下面具体通过一道高考题，看看到底怎么易错.

例4[2]某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为4个部分(如图4)，现要栽种7种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有________种(以数字作答)．

图4 图5

分析 有学生这样解答(按照1,2,3,4的顺序着色)：共有7×6×6×5=1 260种情况，而参考答案是1 302.到底错在哪呢？

仔细思考：如果1号、3号苗圃同色，那么4号花圃还是可能涂5种颜色吗？显然变了，4号花圃可能涂6种颜色.这就是之前涂的颜色对后面的涂色产生了影响，本质原因是他们之间不独立，而是相关联的.此时要分类讨论，把各种情况区分开来.

1)若1号、3号苗圃不同色(如图6所示)，则共有7×6×5×5=1 050种情况.

图6 图7

2)若1号、3号苗圃同色(如图7所示)，则共有7×6×1×6=252种情况.

综上所述，共有1 050+252=1 302种情况.

部分教师讲解时也存在上述问题，不能给学生解释哪儿出错了，而是直接给出正确的方法.一些学生说“知道了”就过去了.实际上部分学生因为害羞而不敢追问，这就导致下次遇到相关的试题还是无法做对.了解容斥原理和分类讨论的思想，能让我们知道排列组合常出错的逻辑原因,直面错题，深入思考错题，让我们在数学的解题中获益匪浅.

[1] 曹汝成.组合数学[M].2版.广州：华南理工大学出版社，2012.

[2] 朱孝春.解排列组合问题十法[J].数理化学习:高中版,2010(5):22-24.

�2017-04-17；

2017-05-26

侯胜哲(1994-)，男，华南师范大学本科学生.研究方向：数学教育.

O122.4

A

1003-6407(2017)08-14-03