基于模糊关系相似与相像的一点注记

夏秀云, 常安城, 王晔

(1. 湖南信息学院 公共课部, 湖南 长沙, 410005; 2. 淮阴师范学院 计算机科学系, 江苏 淮安, 223001)

基于模糊关系相似与相像的一点注记

夏秀云1, 常安城1, 王晔2

(1. 湖南信息学院 公共课部, 湖南 长沙, 410005; 2. 淮阴师范学院 计算机科学系, 江苏 淮安, 223001)

首先给出了二元模糊关系的预备知识, 然后分别探讨了二元模糊关系的相似关系及相像关系的特殊性质、相关定理以及二者之间的联系, 最后用实例说明了相似与相像关系的区别及联系。

模糊关系; 相似; 相像

1965年, 美国计算机与控制论专家Zadeh教授提出了Fuzzy集[1–7]的概念, 提出了研究模糊性或不确定性问题的理论方法, 迄今其已成为一个较为完善的数学分支。模糊集理论所关注的一个基本问题是如何将经典集值运算, 如并、交、补等, 一般化到模糊集中来[1,8]。在普通集合中, 2组事物的关系可明确地用“有关”或者“无关”来作出肯定回答或否定回答; 但是客观世界中, 存在许多2组事物的关系不能明确地“有关”或者“无关”来作出肯定或否定回答的情况, 要表示由模糊概念所确定的关系, 必须采用模糊关系[3]。这是因为属于同一论域或2个不同论域的2个元素的连接概念在系统论中是基本的。目前已有不少学者进行了相关研究。尚德庆[9]研究了模糊集上的影以及模糊优化问题; 雷英杰等[10]研究了模糊关系的正向映像和传统关系与模糊关系的合成; 杨吉会等[11]从线性规划出发, 研究了目标函数模糊型模糊关系; 付云鹏等[12]讨论了凸模糊关系、模糊关系投影和柱体扩张等; 陈爱斌等[13]从模糊逻辑出发, 研究了雾天图像的改进算法; 冯鹏辉等[14]又从模糊优化算法出发, 研究了在三容水箱控制系统中的信息应用。但对相似关系和相像关系性质的特殊性及联系的研究很少。基于以上研究基础及原因, 本文给出了二元模糊关系的预备知识, 分别探讨了特殊二元模糊关系的相似关系及相像关系的特殊性质、相关定理以及二者之间的联系, 最后用实例说明相似与相像关系的区别及联系。

1 预备知识

定义1[1–2,4–5]设是论域U到[0, 1]的一个映射, 即, 称是U上的模糊集,称为模糊集的隶属函数。

定义2[3–6]设R为在X上的一个二元模糊关系, 即R是一个X × X到[0, 1]的映射, 则R被称为: (1)自反的, 即∀x∈X, R(x, x)=1; (2) 对称的, 即∀(x, y)∈X2,R(x, y)=R(y, x); (3) “取大-取小”传递的, 即; (4) “上确界-W”传递的, 即; (5) “上确界乘积”传递的, 即;(6) “上确界平均”传递的, 即; (7) “上确界-取大”传递的,即; (8) “上确界-概率和”传递的, 即; (9) 反对称的, 即∀(x, y)∈X2,x≠y⇒R(x, y)≠R(y, x)或R(x,y)=0且R(y, x)=0; (10) 完全反对称的, 即∀(x, y)∈X2,x≠y⇒(R(x, y)＞0⇒R(y, x)=0); (11) 非自反的, 即∀x∈X, R(x, x )=0; (12) 弱自反的, 即(13) ε-自反的, 即∀x∈X,R(x, x)≥ε,∀ε∈[0,1]。

定义3[2]设, 如果(1)是传递的且是传递的且Q⊇R⇒Q⊇S, 则称S为R的传递闭包, 记为。

定义4[1,7]若, 而α∈[0,1], 记Rα={x∈X| R(x )≥α}, 称Rα为模糊集R的α-截集, 或称为R的α-水平集。

定义5[2,4]设R在X上的一个二元模糊关系, 且X×X→[0, 1], 满足以下条件: 对所有, (1) R(x, y)≥0,∀(x, y)∈X2; (2) 若y, 则R(x, y)=0; (3) R(x, y)=R(y, x), (4) R(x, z)≤max{R(x, y), R(y, z)},∀(x, y, z∈X3), 则称R为X上的[0, 1]伪度量, 记为coR。

2 主要成果

2.1 特殊二元模糊关系之相似关系

相似关系的概念实质上是等价概念的一般化[1]。更一般地说, 一个相似关系是论域X上的一个自反、对称、“取大-取小”传递的二元模糊关系[5–6,8], 即: R: X×X→[0,1]。(1) 自反: ∀x∈X, R(x, x)=1; (2)对称: ∀(x, y)∈X2,R(x, y)=R(y, x); (3) “取大-取小”传递,或表示为IX⊆R, R=R-1, RoR⊆R, IX记为X×X的对角线, R-1表示R的转置。

以下介绍相似关系的相关性质及命题, 并给出相应的证明过程。

2.2 二元特殊模糊关系之相像关系

定义5[4,5]一个X上的二元模糊关系R称为相像关系, 如果R是自反的、对称和“上确界-W”传递的, 即: (1) ∀x∈X, R(x, x) =1; (2) ∀(x, y)∈X2,R(x, y)=R(y, x) ; (3)。从R是“取大-取小”传递的⇒R是“上确界-W”传递的, 得: R是一个相似关系⇒R是一个相像关系。

命题2 R是一个相像关系⇔是一个R上的[0, 1]伪度量。

表1 体格属性

3 结论

本文探讨了特殊二元模糊关系的相似关系及相像关系的特殊性质、相关定理以及二者之间的联系,说明相似与相像关系的区别及联系。在实际应用中, 面对着这样一些属性: 它们的值是一些术语, 这些术语的意义有一些重叠。为了解释这种重叠, 引入在这些属性上的一个相似关系。当R是相像关系时, 则R不一定为等价关系, 但当R是相似关系时, 则R一定是等价关系。

[1] Etienne E Kerre, 黄崇福, 阮达. 模糊集理论与近似推理[M]. 2版. 武汉: 武汉出版社, 2004: 63–93.

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[13] 陈爱斌, 刘涛. 基于模糊逻辑的雾天图像增进改进算法[J]. 湖南文理学院学报(自然科学版), 2011, 23(1): 41–43.

[14] 冯鹏辉, 谭兮, 刘国营, 等. 遗传模糊优化算法在三容水箱控制系统中的应用[J]. 湖南文理学院学报(自然科学版),2012, 24(2): 46–48.

(责任编校: 刘刚毅)

A bit of notations on similarity and portrait with fuzzy relations

Xia Xiuyun1, Chang Ancheng1, WangYe2
(1. Department of Public Course, Hunan Institute of Information Technology, Changsha 410005, China; 2. Department of Computer Science, Huaiyin Normal College, Huaiyin 223001, China)

A bit of notations on similarity relation and portrait relation are discussed based on binary fuzzy relations.Firstly, preliminaries of binary fuzzy relations are proposed. Secondly, some special properties, theories and association are respectively introduced on similarity relation and portrait relation based on binary fuzzy relations.Finally, a practical example is used to show the difference and association on similarity relation and portrait relation.

fuzzy relation; similarity; portrait

O 159

: A

1672–6146(2017)03–0009–04

10.3969/j.issn.1672–6146.2017.03.003

夏秀云, langhuar09@163.com。

: 2017–02–17

国家自然科学基金(60474022); 湖南省教育厅科学研究项目(16C1118); 湖南省十二五规划课题(XJ0K15CZY-002)。