具有收获和Beddington-DeAngelis功能反应的捕食-食饵模型

章培军， 王震， 杨颖惠

(1. 西京学院 理学院， 陕西 西安 710123；2. 西京学院 智能控制技术研发中心， 陕西 西安 710123;3. 西南交通大学 数学学院， 四川 成都 611756)

具有收获和Beddington-DeAngelis功能反应的捕食-食饵模型

章培军1,2， 王震1,2， 杨颖惠3

(1. 西京学院 理学院， 陕西 西安 710123；2. 西京学院 智能控制技术研发中心， 陕西 西安 710123;3. 西南交通大学 数学学院， 四川 成都 611756)

研究食饵具有阶段结构，捕食者具有收获和时滞的Beddington-DeAngelis功能反应的捕食-食饵模型.选取合适的收获率，通过分析相应平衡点处的特征方程，得到各平衡点局部渐近稳定的条件.以时滞τ为分支参数，运用Hopf分支理论，得到当τ经过临界值τ0时系统出现Hopf分支.最后，用Matlab软件进行数值仿真,并验证结论的正确性. 关键词： Beddington-DeAngelis功能反应； 捕食-食饵模型； 时滞； 阶段结构； Hopf分支

在实验的基础上，Holling[1]对不同类型的物种提出了3种不同的功能反应函数，这些功能反应函数只与食饵的密度有关，称为食饵依赖功能反应.Jost等[2]对其进行了系统的研究，并证明功能性反应项与捕食者有关，即捕食者依赖，如Hassel-Varley功能反应[3]，Crowley-Martin功能反应[4]等.由于Beddington-DeAngelis功能反应[5-6]在描述捕食关系时具有食饵依赖型和捕食者依赖型的双重特点，建立在Beddington-DeAngelis功能反应之下的捕食-食饵模型,受到学者的广泛关注[7-8].近几十年来，对时滞微分方程的稳定性和分支的研究引起了许多学者的关注[9-12]，尤其是时滞引起模型产生分支从而诱发周期解.由于种群的存活率、增长率和繁殖力受年龄和种群发展阶段的影响，很多学者考虑了捕食者和食饵的年龄因素对生物系统的影响[12-15].鉴于此，本文在文献[8，15-16]的基础上，研究食饵具有阶段结构，捕食者具有收获和时滞的 Beddington-DeAngelis 功能反应的捕食-食饵模型.

1 模型的建立

食饵具有阶段结构，捕食者具有收获和时滞的Beddington-DeAngelis功能反应的捕食-食饵模型为

(1)

2 基本动力学行为

2.1 平衡点及存在性

令模型(1)的右端为零，易得系统的平衡点及存在条件.

定理1 1) 模型(1)总存在平衡点E1(0，0，0).

2.2 平衡点的稳定性

定理2 1) 当H1)成立时，E1不稳定；当H2):br-d2(b+d1)<0成立时，E1局部渐近稳定.

3) 对任意τ≥0，若条件H5):M2+N2>0，(M2+N2)(M1+N1)-(M0+N0)>0，M0+N0>0，且M0>N0成立，则E3局部渐近稳定.

其特征方程为F1(λ，τ)=|λE-Ji|=0，i=1，2，3.

1) 在E1(0，0，0)处，有

(2)

当H1)成立时，方程(2)有一个根的实部为正，从而平衡点E1(0，0，0)不稳定；当H2)成立时，方程(2)的所有根具有负实部，从而平衡点E1(0，0，0)局部渐近稳定.

2) 在E2处，有

(3)

当H1)和H4)成立时，得f(0)>0，且f(λ)→-∞ (λ→-∞)，从而f(λ)=0有负实部的根.根据Kuang[17]中的定理4.1可得，对任意τ≥0，E2局部渐近稳定.

(4)

(5)

当τ=0时，式(5)变为λ3+(M2+N2)λ2+(M1+N1)λ+M0+N0=0.

2.3Hopf分支及其周期解

设λ=iω是方程(5)的根，并分离实部与虚部，则可得到

(6)

平方后，可得到(M0-M2ω2)2+(M1ω-ω3)2=(N0-N2ω2)2+(N1ω)2.即

(7)

(8)

其中：k=1，2，3；j=0，1，2，….

即有

所以有

所以，若条件H7):f′(z0)≠0成立，那么横截性条件满足.根据Hopf分支存在定理[20]，得到下列结论.

3 数值仿真分析

选择参数值r=2,b=0.2,d1=0.2,β=1.5,m=0.5,n=1,a=0.1,d2=0.2,c=0.5,d3=0.1，当收获率和时滞不同时，可能会出现捕食者灭绝、捕食者与幼成年食饵共存、Hopf分支及周期解的情况.

3.1E2的稳定性

经计算得到捕食者灭绝的平衡点为E2(40，8，0)，分别对时滞τ=0，τ=2进行数值仿真，得到了系统的轨线趋向于E2,如图1所示.

(a) τ=0 (b) τ=2图1 E2稳定性的数值仿真Fig.1 E2 stability of numerical simulation

3.2 E3的稳定性

根据以上的参数值，取qE=0.6，可得捕食者与幼成年食饵共存的平衡点E3(18.708 3， 3.741 7， 1.138 1)，且条件H5):M2+N2=1.774 2>0，M0+N0=0.059 5>0，(M2+N2)(M1+N1)-(M0+N0)=0.822 5>0，M0-N0=0.038 8>0成立，根据定理2，对任意τ≥0，E3渐近稳定.分别对时滞τ=0，τ=2进行数值仿真，得到了系统的轨线趋向于E3，如图2所示.

(a) τ=0 (b) τ=2图2 E3稳定性的数值仿真Fig.2 E3 stability of numerical simulation

3.3 E3的渐近稳定性与Hopf分支及周期解

根据以上的参数值，取qE=0.1，可得到捕食者与幼成年食饵共存的平衡点E3(3.507 8，0.701 6，1.280 1)，z0=0.008 9，τ0=7.742 7且H6):M0-N0=-0.029 3；H7):f′(z0)≠0成立，根据定理3，当τ∈[0，7.742 7)时，正平衡点 E3局部渐近稳定；当τ∈(7.742 7，+∞)时，E3不稳定；而当τ=7.742 7时，系统在正平衡点E3产生Hopf分支，即系统在τ=7.742 7附近产生一簇分支周期解.取τ=7.5∈(0，7.742 7)，系统的正平衡点E3是局部渐近稳定的，而取τ=8.0∈(7.742 7，+∞)，系统的正平衡点E3将失去稳定性并产生Hopf分支,在正平衡点E3处分支出一簇周期解,如图3所示.

(a) τ=7.5∈(0，7.742 7) (b) τ=8.0∈(7.742 7，+∞)图3 E3渐近稳定性与Hopf分支及周期解的数值仿真Fig.3 E3 asymptotic stability and numerical simulation of Hopf bifurcation and periodic solution

4 结束语

研究收获和时滞对模型性态的影响，用 Matlab 软件进行数值仿真验证了结论的正确性.当进行不同的收获时，可能会出现捕食者灭绝、捕食者与幼成年食饵共存等情况;而当进行适当收获，不同的时滞也可能导致模型出现不同的形态，并最终趋向正平衡点和产生Hopf分支及周期解.该研究可为今后对生物资源的开发和种群数量的收获提供宝贵的理论依据.

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(责任编辑： 黄晓楠 英文审校： 黄心中)

Predator-Prey Model With Beddington-DeAngelis Functional Response and Harvesting

ZHANG Peijun1,2， WANG Zhen1,2， YANG Yinghui3

(1. School of Science, Xijing University， Xi′an 710123， China；2.Intelligent Control Technology Research and Development Center, Xijing University， Xi′an 710123， China；3. School of Mathematics， Southwest Jiaotong University， Chengdu 611756， China)

A predator-prey model with Beddington-DeAngelis functional response of predator with harvesting and time delay and the stage structure for prey are investigated in this paper. Select the appropriate harvest rate， the conditions for the local asymptotic stability of the equilibrium point are obtained by analyzing the characteristic equation of the corresponding equilibrium point； by means of the Hopf bifurcation theorem and considering the delayτas a bifurcation parameter， Hopf bifurcation occurs whenτpasses through the critical valueτ0. Finally， Matlab is employed to carry out numerical simulation to verify our results.

Beddington-deAngelis functional response； predator-prey model； time delay； stage structure； Hopf bifurcation

10.11830/ISSN.1000-5013.201704025

2017-01-11

章培军(1984-)，男，讲师，主要从事生物数学与计算机模拟、常微分方程与动力系统的研究.E-mail:zhangpj2006@126.com.

国家自然科学基金资助项目(61473237)； 陕西省自然科学基础研究计划资助项目(2016JM1024)； 陕西省教育厅科研计划项目(15JK2181)； 西京学院科研基金资助项目(XJ160143)

O 175； Q 141

A

1000-5013(2017)04-0579-06