产生长距离Mathieu光束的方法

冯聪， 张鹫， 吴逢铁， 王硕琛

(1. 华侨大学 信息科学与工程学院, 福建 厦门 361021;2. 华侨大学 福建省光传输与变换重点实验室， 福建 厦门 361021)

产生长距离Mathieu光束的方法

冯聪1,2， 张鹫1,2， 吴逢铁1,2， 王硕琛1,2

(1. 华侨大学 信息科学与工程学院, 福建 厦门 361021;2. 华侨大学 福建省光传输与变换重点实验室， 福建 厦门 361021)

设计一套提高Mathieu光束无衍射距离的光学系统,并进行数值模拟.根据传统的方法，利用轴棱锥聚焦椭圆高斯振幅调制的平面波产生Mathieu光束；同时,基于凹透镜对光束的发散特性，将其放置在轴棱锥的前方，使Mathieu光束的无衍射距离得到提高.使用Mathcad软件进行模拟，并将新系统与传统方法对比.结果表明：利用凹透镜系统，可以得到无衍射距离大、质量较高的Mathieu光束. 关键词： Mathieu光束； 凹透镜； 光学系统； 光路优化

无衍射光束的概念是由Durnin等[1]在1987年首次提出，这是一种在自由空间传播过程中横向光场分布不随传播距离发生变化且光场能量集中的光束.由于光束具有无衍射和自重建的特性成为国内外学者研究的热点[2-3]，被广泛应用在激光成像[4]、光学微操作[5]和安全质量检测[6]等领域.事实上，Durnin提出的无衍射Bessel光束只是无衍射光束家族中的一员[7]，是自由空间波动方程在圆柱坐标下的一组特解.2005年，Gutierrezvega等[8]提出自由空间的标量波动方程能在直角坐标系、圆柱坐标系、椭圆坐标系和抛物线坐标系4组坐标系下进行分离变量求得无衍射解，分别对应Cosine光束、Bessel光束、Mathieu光束和Parabolic光束.目前，对Bessel光束的研究较多，而对Mathieu光束等研究较少.2014年，李冬等[9]提出一种基于轴棱锥产生零阶无衍射Mathieu光束的新方法，并研究了Mathieu光束的自重建特性[10].越来越多的研究证明，Mathieu光束可以被用于光学微操作和光通信等领域[11-12].随着不断研究，产生Mathieu光束的方法也越来越多.例如，计算机相位全息法[13]、环缝透镜组方法[14]和柱透镜-轴棱锥法[9].其中，相位全息法操作繁琐，成本高；环缝透镜法光能利用率低；而柱透镜-轴棱锥法不仅方便简单，成本低，且光能利用率高.无衍射光束的无衍射距离往往由轴棱锥的底角大小所限制，在超过无衍射距离后，光束就失去了中心不发散的特性，所以提高Mathieu光束的无衍射距离在实际应用中显得非常重要.减小轴棱锥底角的大小增加了光学元件的加工难度并提高了成本，限制了Mathieu光束的实际应用.因此，通过优化光路提高无衍射距离便尤为重要.文中根据凹透镜对光束的发散特性，将凹透镜加入柱透镜-轴棱锥系统中，设计一套新的光学系统，用Mathcad模拟仿真，并利用实验进行验证.

1 Mathieu光束理论分析

自由空间中的标量波动方程可以表示为

用Whittaker解[15]可以表示为

(1)

式(1)中:kt是平面波的径向波矢分量，kt=ksinθ;kz是轴向波矢分离，kz=kcosθ,θ是波矢与z轴的夹角，波数k=2π/λ；A(φ)是理想无衍射光的复角谱分布.

由式(1)可知：当A(φ)取不同的值时，可以得到不同的衍射光场.在椭圆坐标系中，当A(φ)取零阶角Mathieu分布ce0(φ;q)时，对式(1)积分后，获得零阶Mathieu光分布为

(2)

图1 产生Mathieu光束的实验原理图Fig.1 Experimental schematic for obtaining Mathieu beam

采用柱透镜调制高斯光束得到椭圆高斯振幅调制的平面波，将其近似为零阶角Mathieu函数振幅调制的平面波，从而获得Mathieu光束.实验原理图，如图1所示.

椭圆高斯振幅调制的平面波可以表示为

(3)

让椭圆高斯振幅调制的平面波入射到轴棱锥上，根据菲涅尔衍射积分理论，轴棱锥后的无衍射光场分布可以表示为

(4)

式(4)中:n为轴棱锥的折射率;γ是轴棱锥的底角;R为孔径光阑半径.

2 无衍射距离计算与光路设计

图2 计算无衍射距离的几何模型Fig.2 Geometrical model for calculatingnon-diffracting distanced

Mathieu光束的形成是通过轴棱锥聚焦椭圆高斯振幅调制的平面波，与Bessel光束的唯一区别是入射到轴棱锥上的平面波具有不同的振幅调制模式，故计算Mathieu光束的最大无衍射距离与计算Bessel光束的无衍射距离的几何模型一致.计算无衍射距离的几何模型，如图2所示.图2中：带有椭圆高斯振幅调制的平面波入射到轴棱锥上，经轴棱锥聚焦会在后方形成无衍射光束，菱形ABCD便代表无衍射Mathieu光束产生区域.由几何光学可知，最大无衍射距离AD的大小为Zmax=R/((n-1)γ).当R为2 mm，折射率为1.47;当γ为1°时，Zmax=243 mm.

由此可知，最大无衍射距离与光斑半径R成正比，与轴棱锥底角γ成反比，与透镜折射率成反比.对于给定的轴棱锥，底角γ和折射率n即给定，光斑半径R越大，最大无衍射距离Zmax也越大.根据凹透镜对平面波的扩散作用，加入平凹透镜，当平面波照射在凹透镜上，得到发散的球面波，轴棱锥聚焦的光束的光斑半径也将扩大，通过这种方式提高无衍射距离.

当球面波经过轴棱锥聚焦后，无衍射距离变为Z2[16]，即

(5)

式(5)中:R2为入射到平凹透镜后形成球面波的半径;z0为球面波到轴棱锥的距离.

根据几何光学可知，平凹透镜曲率半径为r，厚度为d，折射率为n，则像方焦距为

(6)

当平凹透镜与轴棱锥相距50mm时，曲率半径r=200mm，R2=2.47mm，z0=475.5mm，带入式(5)，可得Z2=638mm.

3 模拟及实验验证

图3 产生长距离Mathieu光束的凹透镜系统Fig.3 Concave lens system for generating long-distance Mathieu beams

为了验证加入凹透镜的新系统对最大无衍射距离的影响，并与原本柱透镜轴棱锥系统(图1)相比，设计出新的Mathieu光束产生光路.在原系统的基础上加入平凹透镜，将平凹透镜置于光阑与轴棱锥之间，使平凹透镜与轴棱锥距离为50 mm.凹透镜系统，如图3所示.

利用Mathcad软件对新系统和原系统分别进行光强分布模拟，参数如下：He-Ne激光器波长为632.8 nm；柱透镜焦距为135 mm；扩束准直系统中的透镜f1焦距为15 mm；透镜f2焦距为190 mm；光阑半径为2 mm；凹透镜和轴棱锥折射率都为1.47；平凹透镜的曲率半径为200 mm；轴棱锥底角为1°.

从光线传播的角度来看，柱透镜是非对称光学元件.当光路中存在柱透镜时，该系统为非轴对称光学系统，可用4×4变换矩阵描述非轴对称光学系统[17]，在近轴近似条件下,空间域中的广义惠更斯-菲涅尔衍射积分为

(7)

对传统柱透镜-轴棱锥系统进行模拟，结果如图4所示.按照图3所示设计光路，将凹透镜加在轴棱锥之前，使凹透镜与轴棱锥距离50mm.对这个新系统进行模拟，结果如图5所示.

(a) z=90 mm (b) z=130 mm (c) z=170 mm (d) z=210 mm (e) z=243 mm图4 传统系统获得不同位置的模拟光场分布Fig.4 Light field distributions at different locations simulated by traditional systems

(a) z=90 mm (b) z=240 mm (c) z=370 mm (d) z=500 mm (e) z=640 mm图5 新系统获得不同位置的模拟光场分布Fig.5 Light field distributions at different locations simulated by new systems

由图5可知：Mathieu光束在观察面的光强分布呈带状分布，在横向方面呈周期性分布，且中心光强比较高，在纵向分布较为集中，整体类似一个x型；加入凹透镜后的新系统在原本最大无衍射距离243 mm处并没有发散，无衍射特性明显，证明了凹透镜能够提高无衍射距离；最终发现在640 mm处，Mathieu光束的无衍射特性丢失，与式(5)所得结果近似.

根据图1,3设计光路，对上述模拟进行实验验证.同样的，使用He-Ne激光器波长为632.8 nm，柱透镜焦距为135 mm，扩束准直系统中的透镜f1焦距为15 mm，透镜f2焦距为190 mm，光阑半径为2 mm，凹透镜和轴棱锥折射率均为1.47，平凹透镜的曲率半径为200 mm，轴棱锥底角为1°.利用电荷耦合元件(CCD)记录在轴棱锥后不同距离处光强分布图，如图6所示.由图6可知：随着距离增加，衍射光场过渡到Mathieu光束光场分布;在距离243 mm时，光束丢失了无衍射特性.因此，可以认为Mathieu光束的无衍射距离为243 mm，与模拟结果近似.

(a) z=90 mm (b) z=130 mm (c) z=170 mm (d) z=210 mm (e) z=243 mm图6 传统系统产生的Mathieu光束Fig.6 Mathieu beam at different locations by traditional systems

(a) z=90 mm (b) z=240 mm (c) z=370 mm (d) z=500 mm (e) z=640 mm图7 加入轴棱锥后新系统产生的Mathieu光束Fig.7 Mathieu beam at different locations by new systems

加入轴棱锥后产生的Mathieu光束,如图7所示.由图7可知：在距离为640 mm处，Mathieu光束已近乎消失，所以认为新系统产生Mathieu光束的无衍射距离为640 mm.进而证明，加入凹透镜可使无衍射光束的质量更好，传播距离更远.

4 结束语

在前人设计的柱透镜-轴棱锥系统产生Mathieu光束的基础上，结合凹透镜的几何光学性质，设计模拟并通过实验验证了一套可以提高Mathieu光束衍射距离的光学系统.经过巧妙的改动，对Mathieu光束的传输质量有显著的提高，且光路简单，凹透镜成本低廉，方便获取.此外，还可以根据不同的需求设置参数，采用不同的凹透镜，获得不同性质的Mathieu光束.相对于其他提高Mathieu光束的方法，该系统简单高效，在实际生活中也具有极高的应用前景.

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(责任编辑： 钱筠 英文审校： 吴逢铁)

Method of Obtaining Long-Distance Mathieu Beam

FENG Cong1,2, ZHANG Jiu1,2,WU Fengtie1,2, WANG Shuochen1,2

(1. College of Information Science and Engineering, Huaqiao University, Xiamen 361021, China;2. Fujian Key Laboratory of Optical Beam Transmission and Transformation, Huaqiao University, Xiamen 361021, China)

We have designed and simulated an optical system to increase non-diffracting distance of Mathieu beam. According to the traditional method, we focused a plane wave modulated by elliptical Gaussian amplitude to get the Mathieu beam. And based on the divergence characteristics to the beam by using the concave lens, the concave lens was placed in front of the axicon to increase the non-diffracting distance of Mathieu beam. The simulation was carried out by using software Mathcad, the new system and the traditional method was compared. Results show that the Mathieu beam with longer distance and higher quality can be obtained by the new system.

Mathieu beam; concave lens; optical system; optical path optimization

10.11830/ISSN.1000-5013.201704018

2017-01-04

吴逢铁(1958-)，男，教授，博士，主要从事光束传输与变换、短脉冲技术及非线性光学的研究.E-mail:fengtie@hqu.edu.cn.

国家自然科学基金资助项目(61178015)； 国家自然科学青年基金资助项目(61605049); 福建省科技重大项目(2016H6016)

O 436.1

A

1000-5013(2017)04-0541-05