基于高斯成像公式测量凹透镜焦距在初中物理教学中的应用

湖北省教育技术装备处(430079) 程 斌

安徽信息工程学院(241000) 单正叶

1 概述

初中物理是学生正式接触物理学的开始，其中光学透镜的学习更是拉近了物理学与日常生活的距离。然而初中物理的学习阶段，学生接触更多的是凸透镜的相关知识，对于凸透镜有关概念、实验测量等能较好的掌握，而对于凹透镜仅仅是简单了解，甚至很多学生对凹透镜焦距为负值这一基本知识点都不知晓，更谈不上实际应用和实验测量[1-2]，这使得初中物理的学习略有遗憾。

本文首先对凹透镜的相关知识进行介绍，并引入透镜成像的高斯公式。接着根据高斯成像公式，利用辅助凸透镜得到所测凹透镜的虚物，该虚物经凹透镜成一实像，通过测量该凹透镜的虚物距和实像距，代入高斯成像公式求得焦距。多次测量后取得焦距平均值。最后，对此实验的测量误差进行理论分析。如此，为学生今后的发展、科学观的形成奠基。

2 凹透镜的介绍

凹透镜在光学上称为负球透镜，即镜片呈凹形，中央薄，周围边缘较厚。凹透镜对入射的光线有发散作用，即平行光线通过凹透镜后发生偏折，光线成发散光线，不会形成实性焦点，但是沿着发散光线的反向延长线，即在入射光线的同一侧会相交于一点，此为虚焦点。

凹透镜成像的几何作图与凸透镜成像作图原则相同。即从物体顶端做出两条光线：一条平行于凹透镜的主光轴，经透镜折射后为发散光线，但此发散光线的反向延长线会交于入射侧的焦点；另一条光线通过凹透镜的光心，不改变入射方向。这两条折射后的光线会相交于一点，此即为物体经凹透镜折射后的虚像。如图1所示，为凹透镜折射后的三条特殊光线。

图1 经凹透镜折射后的三条特殊光线光路图

如上所述，凹透镜是一种发散透镜。正常情况下，凹透镜所成的像总是正立、缩小的虚像，这就导致凹透镜焦距的测量相对复杂一些。这也是初中物理很少涉及凹透镜焦距测量的原因之一。本文将利用高斯成像公式，通过巧妙方法得到凹透镜的物距、像距，进而计算得到凹透镜的焦距。

3 基于高斯成像公式测量凹透镜焦距

几何光学中研究和讨论光学系统理想成像性质的分支称为高斯光学，或称近轴光学。它通常只讨论对某一轴线(即主光轴)具有旋转对称性的光学系统。几何光学中的透镜成像公式称为高斯公式：

上式中，u为物距，v为像距，f为焦距。即物距的倒数加上像距的倒数等于焦距的倒数。需要注意的是，物距u和像距v均有正负之分，即实为正、虚为负；此外透镜焦距f亦有正负，即凸透镜为正、凹透镜为负。

图2 基于高斯公式的凹透镜焦距测量实验光路图

激光笔调共轴等高。我们知道无论是凸透镜还是凹透镜都有一条特殊光线(或者说成像规律)，即穿过透镜光心的光线不改变入射方向。那么可以利用激光的方向性好、光束稳定且易于观察的特性，将激光笔出射的激光作为这条特殊光线穿过光轴，来实现物体AB、凸透镜L1、凹透镜L2、及挡光板P的共轴等高。实验时，注意不要用眼睛直视激光线，只需顺着激光线方向，调整各元器件高度，观察并使激光光路基本与光学滑轨平行，挡光板上出现激光光斑即可。光路图如图3所示。

图3 激光笔调共轴等高光路图

图4 利用辅助透镜得到实像A′ B′光路图

计算凹透镜的虚物距u和实像距v，代入高斯成像公式计算出凹透镜焦距f。

根据高斯光学中对于物距和像距的定义，物距u和像距v均有正负之分，即实为正、虚为负。本测量实验中，虚物距u可表示为：

同理，实像距v可表示为：

于此，将虚物距u和实像距v代入高斯成像公式：

4 理论分析本实验的测量误差

由实验误差理论可知，本实验误差主要有两个方面，即A类误差uA(f)(亦称标准偏差)和B类误差uB(f)(亦称实验仪器误差)，分别计算如下：

故本实验所得焦距f的误差u(f)可表示为：

5 结语

综上，本实验基于高斯成像公式，在测得凹透镜的虚物距和实像距基础上，计算得到焦距，并分析了实验误差。本实验依据成像原理，实验的物理意义明确，有助于学生对凹透镜成像规律的认识，对初中物理教学具有一定的理论指导意义。