以“向量”为例谈高中数学的概念教学

吴梦佳

[摘 要] 概念教学是高中数学教学的重要环节，本文以向量为例，探讨了在教学中如何引导学生把握概念的本质，如何提升学生对概念的理解.

[关键词] 高中数学；向量；概念教学

概念是人类认识活动的产物，是对客观存在最为本质属性的反映. 此外，概念还是人类思维形式最为基本的构成单元，是进行判断和推理的重要元素.从数学教学来讲，概念是一种能够反映研究对象在数量关系方面的本质内容的思维形式，因此数学概念是学生建构数学认知的基础，清晰而准确的概念认识是学生进行正确思维的基本前提，也是提高学生解题能力的基本条件. 所以，高中数学教师要关注学生数学概念的理解和掌握，下面笔者以向量的概念教学为例，介绍一下笔者在数学概念教学中一些思考.

向量的学习过程中，学生关键性任务是把握向量的双重身份——数与形，并形成以向量法来解决数学问题的基本意识，在这一系列教学任务中，向量的概念有着举足轻重的作用.

在实际教学中，很多教师认为教材有关向量的各个章节的内容安排条理非常清晰，虽然概念多了一些，但是教学难度不大.学生却不这么认为，在他们看来，向量和他们以往接触的数学内容大相径庭，抽象程度很高，因此学习难度不小，而其中概念繁多、难以理解就是其学习难点之一. 事实也是如此，向量既有大小又存在方向，与学生之前的所学存在差别，因此初学之际，学生难免会有不习惯的感觉，而且如果教师教学过程中没有施以恰当的引导，他们自然会感到索然无味、模糊不清. 对于这一点，教师要善于发现向量概念体系的基本特点，要深刻领会向量与物理学习之间的关联性，从而促成学生进行类比和联想，积极发挥迁移思维的优势，启发学生联系数形结合的数学思想，系统化地理解和掌握向量的概念.

正确把握向量概念的本质

数学教材有关向量的介绍实际上主要属于自由向量，具有一定的抽象性.教材从位移和速度等具体的实例出发，从中抽象出向量的基本概念，并使用有向线段对向量进行描述. 但是依托于物理模型来导入向量，并采用有向线段进行描述的应该属于固定向量，这样的处理就会导致学生形成错误的认识：即起点、大小和方向这三个要素就决定了向量. 这一认识的产生主要源于学生将向量等同于物理学中的矢量，是一种思维定式的错误.

为了帮助学生突破上述障碍，正确把握向量的本质性概念，教师可以通过让学生自己在画图操作中感悟向量的概念，也可以通過几何画板等多媒体演示平台来为学生展示多样化的向量，从而让学生在图形中对相等向量进行辨析，由此来加深学生对相等向量、同（反）向向量、共线向量、相反向量等一系列概念的对比和理解，进而引导学生对向量关系进行比较和判断. 此外通过画图，学生能明确平行向量所描述的是向量方向之间的关系，而长度则是对向量大小的表述，而且相等向量与平行向量的关系、共线向量与平行向量的关系，这些都不是由物理知识直接衍生而出的. 但是学生通过画图，采用数形结合的思想能够形成较为鲜明的认识，比如在图形中，学生可以发现任何一对相等的非零向量，均可采用一根有向线段来进行表示，而这又与向量的起点没有关系，这些都是向量的本质，也是移动向量的理论基础.

突出向量的物理与几何背景，增强直观性与可接受性

数学理论有着这样的特征，它源于现实，寓于现实，并将最终应用于现实.这就意味着我们的教学必须要加强数学理论和现实生活之间的联系. 因此，在引导学生学习向量的概念，体会其本质时，我们要引导学生关注向量在生活中的存在和应用.

课程标准有关于向量的教学提出以下要求：向量的概念教学应该从物理和几何这两个层面入手，其物理方面的背景是力、速度、位移等物理矢量概念，而在几何方面，向量的表现为有向线段. 对学生来讲，了解并领会向量概念的物理和几何背景，有助于学生把握向量概念的来龙去脉，有助于学生将向量应用于实际问题的处理之中. 当然教学过程中，教师要充分联系学生的学习基础，从学生熟悉的物理矢量入手，比如力和速度等等，对那些要到高一后阶段才学习的电场强度、磁感应强度等矢量要回避，因为一方面这些物理量学生很陌生，另外这本身也属于更加抽象的物理概念，学生的理解本身就存在困难，以此引导学生掌握另外一个抽象的数学概念，相当于缘木求鱼.

因此，笔者认为我们在引导学生认识向量概念时，最好从教材出发，因为教材在这一章的设计还是非常贴近学生的认知基础的. 它通过日常生活中有关“位置”的确定开始，提出位移的这个概念，由此引出向量的意义；然后，教材再通过力、速度、加速度等概念作为背景素材，引导学生进一步分析这些物理量的共同特点，明确它们既有大小又有方向的相同点，进而实现向量概念的引入；在此基础上，教师再结合有向线段来为向量提供几何背景，引导学生定义向量的模、单位向量等概念. 这样的教学设计，可以帮助学生结合自己的知识基础来完成向量概念的建构，从而增强其直观性和可接受性.

案例：向量夹角概念引入时，教材是以功的概念来切入的：W=Fscosθ，该式中的θ为力F与s的夹角，这也就是向量之间的夹角. 由此引导学生形成定义：两个非零向量a和b，设 =a， =b，则有∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）可以叫作向量a和b的夹角. 教材在此只用了简短的一句话就对向量的夹角进行了概括，对于初次学习向量的学生而言，深刻对其进行理解是存在一定难度的. 教师在对概念进行教学时，要善于从增强直观性和可接受性的角度入手，画出不同位置的两个向量的图，让学生结合概念进行辨析，从而引导学生结合直观化的图形来理解向量夹角的关系，深刻体会不同的位置关系会形成不同的夹角. 在丰富的感性体验的刺激下，教师可以进一步鼓励学生对向量夹角的概念进行剖析和理解，即要比较夹角关系就必须将两个向量平移到一个共有的起点位置，这一处理有助于学生理解新的向量.

向量几个关键概念的辨析

向量概念繁多，因此对于学生易于发生混淆的概念，教师要引导学生进行重点突破.

1. 自由向量

高中阶段的数学学习中，我们所研究的向量是自由向量，此种向量只有大小与方向两个要素，并且无需对向量的背景内容进行考虑. 换言之，当我们采用有向线段对向量进行表示时，它们的起点可以随意进行选择，等长且方向相同的有向线段就是对同一个向量的表示. 使用代数坐标的方式来表示向量时，如果同一个平面坐标系中有两个方向相同且大小相等的向量，那么它们就可以采用同一个有序实数进行表示. 因此，自由向量不仅仅只是对物理学中各类矢量的进一步抽象化的概括，它也是将数学中的向量与物理学科的矢量进行了区别. 同样也正是因为自由向量的出现，这为我们采用向量来解决解析几何、立体几何的问题大开方便之门. 所以在实际教学中，我们一开始就要向学生渗透自由向量的基本概念，并在学习的过程中引导学生逐步深化.

2. 零向量

零向量是高中数学中最为特殊的一种向量，教材中对其进行定义之后，就没有对其进行详细的解释与辨析，特别是在研究向量的垂直关系时，苏教版的教材是这样进行定义的：当两个向量的夹角为90°时，我们称两个向量垂直. 在描述垂直概念时，相关陈述明显是针对非零向量进行表述的，至于零向量的垂直关系，教材未曾细加说明，这是一种回避策略. 笔者认为，我们的数学教学不能局限于教材本身，而应该有创新和重构的勇气，因为教材的回避往往会导致学生在非零向量垂直问题上出现模糊不清的误解，这将阻碍学生形成清晰化的知识结构. 此外，笔者认为适当地引入零向量的概念还有助于学生后期高等数学的继续学习.

综上所述，在高中数学的概念教学中，教师要积极引导学生探索概念的形成过程，由此深刻把握其内容本质，同时教师还要善于引导学生认识概念的知识背景，由此增强概念的直观性和可接受性，相信这样的处理能够有助于学生掌握数学概念，习得数学方法.