基于学科素养的解题能力培养

蒋志学

[摘 要] 在传统教学的基础上，寻找一个能够为学生解题能力培养提供智慧的源泉，是面对当前高中数学考试评价的重要任务. 数学学科的核心素养从六个方面阐述了数学教学的需要，而这六个方面与数学问题解决及数学习题解答是密切相关的. 从审题能力、发散思维能力有效培养的角度思考，并着力构建学生的解题能力体系，是有效的解题能力培养途径.

[关键词] 高中数学；学科素养；解题能力

高中数学教学中，学生解题能力的形成与多个因素有关，因而在培养学生解题能力的时候，也总有着多重的视角. 纵观已有的研究成果，可以发现在形式上所做出的努力是非常多的，应当说这是一种非常正确的思路，因为教学形式影响着教学内容的效果，通过学生喜闻乐见且行之有效的形式，确实可以一定程度上培养学生的解题能力. 但我们又应当看到，形式的背后总是实质，而对实质的探究也总能寻找到更多更有效的方法，从而让学生的解题能力能够有一个长足的发展. 笔者以为，当下所研究的数学学科核心素养，就是培养学生解题能力的本质途径.

数学学科核心素养是学科素养的下位概念，基于数学学科的核心素养去理解解题能力的培养，可以从数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等多个维度，形成有效的解题能力. 事实上从理论的角度来看，素养本身就是一种能力，或者说是能力体现背后的支撑因素，当学生在数学解题过程中能够成功地进行以上六种维度的能力运用时，就是解题能力的充分体现. 笔者在教学中尝试以数学学科核心素养的相关理论为指导，立足于学生解题能力的培养，取得了较好的效果.

数学学科素养下的审题能力培养

审题能力是解题能力的基础，通常情况下对审题能力的培养往往只局限于“认真审题”这样的命令式要求，事实证明，这样的要求对学生的审题能力培养是没有任何帮助的，一个根本的原因就是，学生根本不知道怎样审题为认真审题. 那种学着教师去圈画出关键词的方法，只能让学生学到形式，对学生解题能力的形成没有丝毫的帮助，日常的教学中看到学生圈画出的莫名其妙的关键词，或者虽画出了关键词但根本不知道这些关键词在题中的具体含义的情形，实在是太多了.

而从数学素养的六个维度来审视学生的审题能力培养，就会发现有些策略的不可行性，也可以寻找到有效的审题能力培养策略. 比如说数学审题，不能简单地理解为就是理解题目的意思，因为在这里，“理解题意”是一个非常重要的过程，是一个将原有数学知识与解题经验与面前的数学题目进行相互作用，并生成新的认识的过程，而且这个认识必须是符合解题思路的，这才是真正的理解题意. 那么，题意如何才能被学生所理解呢？从数学素养的视角来看，可以这样认为：学生阅读题目的过程，就是基于已有的数学知识，通过逻辑推理去建构数学模型的过程；如果是一些来源于实际的题目，则可能还需要进行一个数学抽象，然后进行直观想象的过程. 认识到这一点，就应当知道数学审题过程中，学生的思维过程其实十分复杂，就以逻辑推理为例，学生依据数学学习过程中形成的数学规则，并根据题意去生成自己的理解，并让自己的理解离问题的解决逐步靠近常规解题思路.

这里可以任意举一个数学习题来说明：已知集合A={θcosθ

这些常规试题其实都是能够培养学生的审题能力的，有些时候恰恰是常规题能够更好地培养学生基本的解题能力. 因为常规题解题过程相对简单，绝大多数学生都能够有一个完整的思路，这个时候教师可以有很好地引导学生反思解题思路的机会，尤其是比较自己的思路与正确思路的机会，这样的比较过程，有利于学生解题能力的形成. 在上题中，学生在审题时，需要结合集合的概念、符号表示、基本三角函数及其定义域等，完成题意的完整理解，这其中的逻辑推理是不言而喻的，所建立的数学模型也就是一种基于上述概念形成的两个基于三角函数的集合的模型——通常情况下，学生都会直觉性地以图像来表示两个集合，而这种直觉意识恰恰又是直观想象的产物，因此，即使像这样的一道基本习题，也包含了数学素养的多个因素（包括数学运算与数据分析等）. 在引导学生反思解题思路的过程中，可以将这些数学素养的维度以学生听得懂的语言进行描述，从而将学生的解题思路语言化、明晰化，进而就可以形成解题能力.

基于数学素养六要素看发散思维

发散思维能力是一种高端的解题能力，考虑到当前高中数学考试中数学试题越来越灵活的现状，学生的发散思维能力的培养显得尤为重要，而从学生的数学素养提升来看，发散思维能力背后所显示出来的数学素养要素又有着显著的培养需要.

如果仔细分析，会发现发散思维能力的培养在当前数学教学中还是存在着不少的困难的，一个重要原因就是当前的教学（不仅仅是数学学科）其实是一种内敛式的思维，绝大多数数学试题的解题思路或答案都是具有唯一指向性的，这决定了发散思维存在的空间并不是很大，可是无论是从学生成长的需要来看，还是从高端数学试题的命制来看，利用发散思维去解题又是必然的选择. 如在上面一点所举的例子中，学生的思路往往是个体单一性而群体复合性，因为有的学生可能会根据正弦函数和余弦函数的性质去解题，而有的学生则会通过单位圆中正弦线与余弦线的分布判断去解题. 这两种思路常常少有学生同时想到，而如上面所说的那样，像这样的基础题往往是面向全体学生培养解题能力的重要载体，因此此处可以进一步让学生思考有没有其他的解题思路，尽管这样的要求显得有些常规，但其仍然是培养学生发散思维能力的颠扑不破的有效途径. 对于基础较好的学生而言，本题基本上不需要太多的引导，而对于基础较弱的学生而言，则可以将他们组成学习小组，并分别从正余弦函数的性质描述角度，引导他们向图像角度思考，或者反其道而行之，通常有了这样的引导，学生的思维触角就可以伸向另一个思路，从而达成发散思维的运用.

然后从数学素养的角度來看发散思维能力的培养，可以发现，发散思维实际上就体现在逻辑推理的思路有所不同上，学生所拥有的不同的直观想象思路，往往决定了会用到不同的逻辑推理过程，从而就表现为不同的思维方式，因此发散思维能力的培养，实际上就是基于同一数学习题，进行多角度的直观想象与逻辑推理的过程，当然同时也是不同的数据分析与数学运算的过程，同样若数学习题带有情境性，则还需要学生从不同角度去进行数学抽象或数学建模.

进一步研究还可以发现，从数学素养的六个角度看发散思维能力的培养，实际上是让学生基于不同的思维角度去进行不同过程的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析. 反过来，在数学素养的这些因素逐步形成的过程中，发散思维起着拓展思维宽度、发掘思维深度的作用.

数学素养下解题能力体系的建成

多年高中数学教学的经验表明，当前数学高考评价体系所需要的解题能力，更多的是一种体系性的能力，同时我们也发现，之所以一些学生没有能够形成强大的解题能力，其实也就是自身的能力没有形成一个体系，而解题能力体系的形成绝非一件易事，需要学生在解题的过程中不断总结反思，不断地进行比较，在这个过程中，数学素养依然发挥着重要的作用.

总的来说，数学解题能力是从审题能力开始的，在一定水平的解题经验的作用下，将知识与习题进行相互作用以在前者当中寻找到后者解决途径，并对解题结果进行评估的过程. 而纵观数学素养的六个维度，可以发现这几乎就是一个数学问题解决的过程，也就是说常规的对数学解题的描述，与学术视角下对数学学科核心素养要素几乎是重合的，但是，显然数学素养的描述比经验性的表述更科学，也更容易成为寻找有效的解题能力培养途径的源泉.

在这里需要重点提醒的，就是解题能力的培养的另一个关键，因材施教原则的体现. 当然，在当前的大班额的体制之下，真正做到因材施教几乎是不可能的，但是从宏观层面进行分层，以让水平相似的同一层次的学生能够得到恰当的解题思路的指导，却是必要的. 这也是解题能力体系形成的另一个重要保证，笔者在教学中主要将精力放在不同水平小组合作的指导上，以尽量将自己的指导与学生的思维水平形成一个互补的关系，当然，这里生生互助也是必要的. 其实无论是师生之间还是生生之间的互动，对于解题能力体系的形成都是极有帮助的，其效果远比教师的讲授甚至是灌输要有用得多. 笔者仔细寻找过原因，结果发现在师生互动与生生互动的过程中，学生更容易形成一种默会性的认识，这种认识虽然无法用语言表示，但却成为学生解题能力的重要组成部分，具有为解题能力体系大厦的构建提供牢固的黏结剂的作用.