例谈运用分类讨论思想解题

赵光义

在一些数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，这就需要我们用分类讨论的思想解决问题.在用分类讨论思想解决问题时，我们要按照统一的标准进行分类，做到不重不漏.下面举几个运用分类讨论思想解决数学问题的例子，加深同学们对分类讨论思想的认识.

一、由绝对值引起的分类

例1 已知：a，b≠0，则[aa]+[bb]= .

解：根据a，b的正负，分四种情况讨论：

① 当a>0，b>0时，[a=a，b=b]，

∴原式=1+1=2.

②当a>0，b<0时，[a=a，b=-b]，

∴原式=1-1=0.

③当a<0，b>0时，[a=-a，b=b]，

∴原式=-1+1=0.

④当a<0，b<0时，[a=-a，b=-b]，

∴原式=-1-1=-2.

综上所述，[aa]+[bb]的值为2，0，-2.

评注：含有绝对值的问题，通常根据绝对值的定义，按照含有绝对值式子的正负进行分类求解.

二、由概念的指向不明确引起的分类

例2 若函数y=（a-1）x2-2x-1的图象与x轴只有一个交点，则a的值为 .

解：分两种情况讨论：

① 当a-1≠0，即a≠1时，函数为二次函数，函数y=（a-1）x2-2x-1与x轴只有一个交点时，Δ=（-2）2-4（a-1）×（-1）=0，

解得a=0.

②当a-1=0，即a=1时，函数为一次函数y=-2x-1，与x轴只有一个交点（[-12]，0）.

综上所述，a=0或1.

评注：本题中，“函数”的概念指向不明确，该函数有可能是二次函数，也有可能是一次函数，因此我们需要分类讨论.

三、由全等三角形或相似三角形的对应边引起的分类

例3 如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是 （ ） [·][A][B][C][D][P][图1]

A. 1个 B. 2个

C. 3个 D. 4个

解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，

∴∠BAD=∠ABC=90°.

又AB=8，AD=3，BC=4，

∴设AP=x，则BP=8-x.

要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：

①若△APD∽△BPC，则[APBP=ADBC].

∴[x8-x=34].

解得[x=247] .

②若△APD∽△BCP，则[APBC=ADBP].

∴[x4=38-x].

解得x=2或x=6.

综上所述，满足条件的点P有3个.故选C.

评注：三角形的相似，由于边的对应存在不唯一性，所以在求解此类问题时，通常按照边的对应关系进行分类讨论.

四、由等腰三角形或直角三角形引起的分类

例4 如图2，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），点C在直线y=x上.若以A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（ ） [O][x][y] [·][·][B

A][

][y=x][图2]

A.2个 B.3个

C.4个 D.5个

解：要使△ABC为等腰三角形，如图3，分三种情况： [O][x][y] [·][·][B

A][

][y=x][图3][] [C1][C2][C3][·][·][·] ①当CA=CB时，作线段AB的垂直平分线，交直线y=x于点C1，此时C1（4，4）.

②当BA=BC时，以点B为圆心，BA长为半径作圆.

∵OB=6，

∴点B到直线y=x的距离为6[×22]=[32].

∵[32>4]，

∴此时圆与直线y=x没有交点，符合条件的点C不存在.

③当AB=AC时，以点A为圆心，AB长为半径作圆，交直线y=x于两点C2，C3 .

设C（x，x）.

∵A（0，2），B（0，6），

∴AC=AB=4.

∴x2+（x-2）2=42.

解得x1=[1+7]，x2=[1-7].

∴C2（1+[7]，1+[7]），C3（1-[7]，1-[7]）.

综上所述，满足条件的点C有3个.故选B.

评注：对于等腰三角形，在腰和底边不明确的情况下，我们常常以腰为标准分三种情况进行讨论.在解决直角三角形的相关问题时，如果直角不明确，也采用类似的分类方法.

五、由图形的运动引起的分类

例5 两个三角板ABC，DEF，按图4的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点、线都在同一平面内）.其中∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6 cm.現固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动.设三角板平移的距离为x （ cm），两个三角板重叠部分的面积为y （ cm2）. [A][B][C][（D）][E][F] [图4]

（1）当点C落在边EF上时，x= cm；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

解：（1）如图5，过点C作CG⊥AB于G，作CH⊥EF于H，则四边形CGEH是矩形，三角板移动的距离为GE的长.

在Rt△ABC中，由AC=6，∠ABC=30°，得[BC=ACtan30°=63].

在Rt△BCG中，BG=BC·cos 30°=9，GE=BG+BE=9+6=15 （cm） .

∴x=15. [A][B][C][（D）][E][F] [图5] [G][H]

（2）①当0≤x<6时，重叠部分为△BDG（如图6）.此时∠GDB=60°，∠GBD=30°，DB=x，得[DG=12x]，[BG=32x].

重叠部分的面积y=[12]DG·BG=[12]·[12]x·[32]x=[38] x2. [A][B][C][D][E][F] [图6] [G]

②当6≤x<12时，重叠部分为四边形DEHG（如图7）.此时BD=x，DG=[12]x，BG=[32]x，BE=x-6，EH=[33]（x-6）.

重叠部分的面积y =S△BDG-S△BEH =

[12]DG·BG-[12]BE·EH，即y=[12]·[12]x·[32]x-[12]（x-6）·[33]（x-6）.

化简，得y=[-324x2+23x-63]. [A][B][C][D][E][F] [图7][G] [H]

③当12

重叠部分的面积y=S△ABC-S△BEG=[12]AC·BC-[12]BE·BG，即y=[12]×6×[63]-[12]（x-6）×[33]（x-6）.

化簡，得y=[-36x2+23x+123].

综上所述，

y=[38x20≤x<6，-324x2+23x-636≤x<12，-36x2+23x+12312

评注：由于图形的运动，可能会导致图形的形状、位置发生变化，我们常常根据图形所处的不同位置、不同形状进行分类讨论.引起分类的原因、分类的依据很多，希望同学们在平时的学习中不断的整理、归纳，提高利用分类讨论的方法解决问题的能力.