中考数学函数型试题求解策略

刘顿

函数知识在中考中所占比重较大，笔者针对中考数学函数型试题的题型特点进行分析与探究，希望对同学们的复习有所帮助！

一、注重函数基础知识的演练

（一）函数的概念

例1 （2016·南宁）下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ） [][O][x][y] [O][x][y][D] [B] [O][x][y][C] [A][O][x][y]

分析：根据函数的意义即可求出答案.

解：根据函数的意义可知，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，只有选项D正确.故选D.

评注：本题主要考查了函数的定义.求解时要注意函数的意义，反映在图象上简单的判断方法是过图象上任意一点作垂直于x轴的直线与函数图象只有一个交点.

（二）函数的图象

例2 （2016·荆门）如图1，正方形ABCD的边长为2 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止.设点P的运动路程为x （cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y （cm2）关于x （cm）的函数关系的图象是（ ）[C D][O][x][y] [2][2][4][O][x][y] [2][2][4] [O][x][y] [2][2][4] [A B

][O][x][y] [2][2][4]

分析：根据点P在AB和BC上运动，确定y 与x的函数关系式，进行选择.

解：根据题意，得△ADP的面积y 与点P的运动路程x 的关系式是[y=x（0≤x≤2），2（2≤x≤4）.]故选A.

评注：解答分段函数图象的问题，要抓住其不同变化阶段的特征，对函数图象变化趋势做出正确的判断.

（三）函数自变量的取值范围

例3 （2016·青海）函数[y=x+3x-2]中，自变量x的取值范围是 .

分析：由分式和二次根式有意义的条件，得①x+3是二次根式的被开方数，因此x+3≥0；②x-2是分式的分母，因此x-2≠0.

解：由题意，得[x+3≥0，x-2≠ 0.]

解得x≥-3且x≠2.

評注：求解此类问题时应明确相关表达式的存在条件，进而列出不等式或不等式组，从而解得答案.

（四）函数的运用

例4 （2016·北京）已知y是x 的函数，自变量x的取值范围是x>0，下表是y与x 的几组对应值.[x＼&…＼&1＼&2＼&3＼&5＼&7＼&9＼&…＼&y＼&…＼&1.98＼&3.95＼&2.63＼&1.58＼&1.13＼&0.88＼&…＼&]

小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究.

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中各组对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象.

（2）根据画出的函数图象，写出①x=4时对应的函数值y约为 ；②该函数的一条性质： . [O][y][1][2][3][4][5][-1][x][1][2][3][4][5][6][7][8][9] [-1][10][图2] [·][·][·][·][·][][·][A][B]

分析：依题意，顺次连接各点，得到函数的图象；根据函数的图象，找到当x=4时y的对应值；根据函数的图象特征，可写出一条性质.

解：（1）如图2，顺次连接各点，所得图象即为所求.

（2）①如图2，过x轴上的点（4，0）作x轴的垂线，交函数的图象于点A，过点A作y轴的垂线，交y轴于点B，从图中观察可知，点A的纵坐标约为2.故填2（1.8到2.2之间都正确）.

②答案不唯一.如当x>2时，y随x的增大而减小.

评注：画函数图象的步骤为：列表、描点、连线；描述函数的性质，初中阶段主要侧重以下几个方面：最值（最大值或最小值）、增减性（y随x的增大而增大或y随x的增大而减小）、对称性（轴对称或中心对称）.

二、注意理解函数的性质

（一）一次函数的性质

例5 （2016·贵阳）已知点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=-2x+1的图象上的两点，则a与b的大小关系是 .

分析：由一次函数的增减性与比例系数k值的关系即可比较大小.

解：∵k=-2<0，

∴y随x的增大而减小.

∵1<2，

∴a>b.

评注：求解这类问题要注意一次函数的增减性与比例系数k的关系：①当k>0时，y随x的增大而增大；②当k<0时，y随x的增大而减小.

（二）反比例函数的性质

例6 （2016·常德）已知反比例函数y=[kx]的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式 .

分析：由反比例函数的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，结合反比例函数的性质即可得出k<0，从而得到答案.

解：∵反比例函数[y=kx]的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，

∴k<0.答案不唯一.如[y=- 2x]等.

评注：求解时注意明确反比例函数的性质：①当k>0时，函数图象位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；②当k<0时，函数图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大.

（三）二次函数的性质

例7 （2016·天水）如图3，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，给出下列结论：①abc<0；②[b2-4ac4a]>0；③ac-b+1=0；[④OA·OB=-ca].其中正确的结论是 （只填写序号）. [O][x][y] [A][B][C][图3]

分析：①由抛物线开口向下，得a<0.由抛物线的对称轴在y轴的右侧，知a，b异号，从而b>0；由抛物线与y轴交于正半轴，得c>0，再由有理数乘法法则即可判断出abc的符号.

②由抛物线与x轴的交点有两个，得b2-4ac>0，而a<0，所以[b2-4ac4a<0].

③由OA=OC，得A（-c，0），代入二次函数解析式，化简后可得a，b，c的数量关系.

④将OA·OB转化为A，B两点的横坐标的积，然后运用一元二次方程的根与系数的关系求解判断.

解：①观察抛物线，分别根据其开口方向向下，对称轴在y轴的右侧及抛物线与y轴交于正半轴，知a<0，b>0，c>0，所以abc<0.结论①正确.

②∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，

∴b2-4ac>0.

又∵4a<0，

∴[b2-4ac4a<0].结论②错误.

③在y=ax2+bx+c中，令x=0，得y=c.

∴OC=|c|=c.

∴ OA=OC=c.

∴点A的坐标是（-c，0）.

将A（-c，0）代入y=ax2+bx+c，得ac2-bc+c=0.

又c>0，

∴两边同时除以c，得ac-b+1=0.结论③正确.

④设A（x1，0），B（x2，0）（x1<0

∴x1·x2[=ca].

∴OA·OB=|x1|·|x2|[=-]x1·x2[=-ca]，即OA·OB[=-ca].结论④正确.

综上所述，正确的结论是①③④.

评注：由抛物线在直角坐标系中的位置，确定a，b，c的符号以及a，b，c之间的关系是中考的热点和难点，属于压轴题，同学们要认真分析这类题目的解法.

三、体会数学思想方法的运用

（一）数形结合思想

例8 （2016·甘孜）如圖4，已知一次函数y=kx+3和y=-x+b的图象交于点P（2，4），则关于x的方程kx+3=-x+b的解是 . [O][x][y][图4][2][4][P][y=-x+b][y=kx+3]

分析：函数y=kx+3和y =-x+b的图象的交点坐标的横坐标即是方程kx+3=-x+b的解.

解：∵一次函数y=kx+3和y=-x+b的图象交于点P（2，4），

∴关于x的方程kx+3=-x+b的解是x=2.

评注：本题考查了一次函数和一元一次方程的知识，求解的关键是明确函数图象的交点与方程的解的关系，及时地从图中获取信息.

（二）转化思想

例9 （2016·滨州）如图5，已知点A，C在反比例函数[y=ax]的图象上，点B，D在反比例函数[y=bx]的图象上，a>b>0，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB[=34]，CD[=32]，AB与CD间的距离为6，则a-b的值是 . [O][x][y] [A][B][C][D][E][图5]

分析：设点A，B的纵坐标为y1，点C，D的纵坐标为y2，分别表示出A，B，C，D四点的坐标，根据线段AB，CD的长度结合AB与CD之间的距离，即可得出y1，y2的值，连接OA，OB，延长AB交y轴于点E，通过计算三角形的面积结合反比例函数的系数的几何意义即可得出结论.

解：设点A，B的纵坐标为y1，点C，D的纵坐标为y2，则点A（[ay1]，y1），点B（[by1]，y1），点C（[ay2]，y2），点D（[by2]，y2）.

∵AB=[34]，CD=[32]，

∴2 [a-by1]=[a-by2].

∴|y1|=2|y2|.

∵|y1|+|y2|=6，

∴y1=4，y2=-2.

如图5，连接OA，OB，延长AB交y轴于点E.

∴S△OAB[=12]AB·OE[=12][×34×4][=32]，S△OAE[=12]a，S△OBE[=12]b.

∴S△OAB=S△OAE-S△OBE[=12a-12b].

∴[12]（a-b）=[32].

∴a-b=3.

评注：本题借助图形面积确定反比例函数的比例系数，求解时要能利用反比例函数的性质求出a-b=2S△OAB.

（三）分类讨论思想

例10 （2016·荆门）如图6，已知点A（1，2）是反比例函数[y=kx]图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点，若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是 .[O][x][y] [A][B][P][2][P][1][P3][P4] [图6]

分析：依题意可设点P（t，0），用t表示相应的线段，对等腰三角形的边进行分类讨论，用勾股定理求出点P的坐标.

解：设点P（t，0），容易求出B（-1，-2），AB=2[5]，BP2=（-2）2+（-1-t）2，AP2=22+（t-1）2.

分三种情况：

①当BP=AB时，由勾股定理，得（-2）2+（-1-t）2=（2[5]）2，解得t1=3，t2=-5.

②当AP=AB时，22+（t -1）2=（2[5]）2，解得 t3=-3，t4=5.

③当AP=BP时，22+（t -1）2=（-2）2+（-t -1）2，解得 t=0.点P的坐标是 （0，0），不符合题意.

综上所述，点P的坐标是 （3，0），（-5，0），（-3，0），（5，0）.

评注：本题讨论了AB为腰和AB为底边时，△PAB是等腰三角形的情况，做到了不重不漏.

（四）建模思想

例11 （2016·盐城）我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15～20 ℃的新品种，图7是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y （℃）随时间x （h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC是双曲线[y=kx]的一部分.请根据图7中的信息解答下列问题： [O][x][y][10][20][2][12][图7][A][B][C][2][4][D]

（1）求k的值；

（2）恒温系统在一天内保持大棚温度在15 ℃及15 ℃以上的时间有多少小时？

分析：（1）由题意，结合图象，直接将点B的坐标代入求得.

（2）观察图象可知，三段函数图象都有y≥15的点，且AB段是恒温阶段y=20，所以计算AD和BC两段当y=15时对应的x值，相减即得结论.

解：（1）把点B（12，20）代入[y=kx]，得20=[k12].

解得k=240.

（2）設AD段的解析式为y=mx+n.

把点D（0，10）和A（2，20）代入y=mx+n，得[n=10，2m+n=20.]

解得[m=5，n=10.]

∴AD段的解析式为y=5x+10（0≤x≤2）.

把y=15代入y=5x+10，得15=5x+10.

解得x=1.

把y=15代入y=[240x]，得15[=240x].

解得x=16.

∴16-1=15.

答：恒温系统在一天内保持大棚温度在15 ℃及15 ℃以上的时间有15小时.

评注：本题既是一道一次函数的应用题，也是一道反比例函数的应用题，两者的结合，使问题增加了不少新意，求解时要注意发现条件中的等量关系，并注意体会数形结合思想、方程思想、待定系数法等几种数学思想方法的运用.

四、注意体会生活中函数的应用

（一）一次函数的实际应用

例12 （2016·临沂）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的快速发展.小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲乙两家快递公司比较合适.甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费.乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元.设小明快递物品x千克.

（1）请分别写出甲乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式.

（2）小明应选择哪家快递公司更省钱？

分析：（1）根据题意，甲公司的费用是分段函数，注意讨论，得出y甲关于x的函数关系式，根据“乙公司的费用=快件重量×单价+包装费用”得出y乙关于x的函数关系式.

（2）分01两种情况讨论，分别令y甲y乙，解关于x的方程或不等式得出结论.

解：（1）由题意，得当01时，y甲=22+15（x-1）=15x+7.

y乙=16x+3.

（2）①当0y乙，即22x>16x+3，解得[12]

②当x>1时，令y甲4；令y甲=y乙，即15x+7=16x+3，解得x=4；令y甲>y乙，即15x+7>16x+3，解得1

综上所述，当[12]y乙，选乙快递公司省钱；当x=4或x=[12]时，y甲=y乙，选甲乙两家快递公司快递费一样多；当04时，y甲

评注：本题以一次函数解决实际问题为背景，综合考查了一次函数的应用、解一元一次不等式以及解一元一次方程.

（二）二次函数的实际应用

例13 （2016·宿迁）某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m（30

（1）求y关于x的函数表达式.

（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象.为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围.

分析：（1）根据收费标准，分0

（2）由（1）可知当0

解：（1）根据题意，得

y=[120x 0

即y=[120x 0

（2）由（1）可知当0

∵a=-1<0，

∴当x≤75时，y随x的增加而增加.

∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，则30

评注：本题考查了二次函数的应用，求解时应注意明确分段的意义，利用二次函数的性质解决问题.

（三）反比例函数的实际应用

例14 （2016·湖州）湖州市某养鱼专业户准备挖一个面积为2 000平方米的长方形鱼塘.

（1）求鱼塘的长y（米）关于宽x（米）的函数表达式；

（2）由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，当鱼塘的宽是20米时，鱼塘的长为多少米？

分析：（1）根据矩形的面积=长×宽，列出y与x的函数表达式即可.

（2）把x=20代入计算求出y的值，即可得到结果.

解：（1）由长方形面积为2 000平方米，得xy=2 000，即[y=2 000x].

（2）當x=20时，[y=2 000x]=100（米）.

所以当鱼塘的宽是20米时，鱼塘的长为100米.

评注：本题是反比例函数的应用题，用反比例函数的定义解决问题比较简单.

五、强化函数压轴题

例15 （2016·宁夏）如图8，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD.若两个点同时运动的时间为x秒（0

（1）设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？求出S的最小值.

（2）是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由. [A][B][C][D][P][Q][图8]

分析：（1）用x表示出AQ，BQ，BP，CP的长，表示出S△ADQ，S△BPQ，S△PCD，从而表示出S，再利用二次函数的增减性求得S是否有最大值，并能求出其最小值.

（2）用x表示出BQ，BP，PC，当QP⊥DP时，可证明△BPQ∽△CDP，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，求得x的值.

解：（1）∵四边形ABCD为矩形，

∴BC=AD=4，CD=AB=3.

当Q，P运动x秒时，AQ=x，BP=x，

∴BQ=AB-AQ=3-x，CP=BC-BP=4-x.

∴S△ADQ[=12]AD·AQ[=12]×4x=2x，S△BPQ=[12]BQ·BP[=12]（3-x）x[=32]x[-12]x2，S△PCD=[12]PC·CD=[12]×（4-x）×3=6-[32]x.

又S矩形ABCD=AB·BC=3×4=12，

∴S=S矩形ABCD-S△ADQ-S△BPQ-S△PCD=12-2x-（[32]x[-12]x2）-（6-[32]x）=[12]x2-2x+6=

[12]（x-2）2+4，即S[=12]（x-2）2+4.

∴S为开口向上的抛物线，且对称轴为直线x=2.

∴当0

又x≠0，

∴S不存在最大值.当x=2时，S有最小值，最小值为4.

（2）存在.

理由如下：

由（1）可知BQ=3-x，BP=x，CP=4-x，当QP⊥DP时，∠BPQ+∠DPC=∠DPC+∠PDC=90°，

∴∠BPQ=∠PDC.

又∠B=∠C，

∴△BPQ∽△CDP.

∴[BQCP][=BPCD]，即[3-x4-x][=x3].

解得x1[=7+132]（舍去），x2[=7-132].

∴当x[=7-132]时，QP⊥DP.

评注：本题是四边形的综合应用题，涉及的知识点有矩形的性质、二次函数的最值、相似三角形的判定和性质等.