方程和方程组复习指导

徐正清

方程和方程组是初中数学的核心知识点，主要考查学生的计算能力和运用方程解决实际问题的能力.

一、一元一次方程的解及解法

例1 （2016·贺州）解方程：[x6]-[30-x4]=5.

分析：将方程两边同时乘以分母的最小公倍数，然后去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

解：去分母，得2x-3（30-x）=60.

去括号，得 2x-90+3x=60.

移项，得 2x+3x=60+90.

合并同类项，得 5x=150.

系数化为1，得x=30.

评注：去分母时，注意将方程中的每一项都乘以最小公倍数，不能漏乘.

练习1 解方程：[12]x+2×（[54]x+1）=8+x.

二、二元一次方程组的解及解法

例2 （2016·成都）已知[x=3，y=-2]是方程组[ax+by=3，bx+ay=-7]的解，求代数式（a+b）（a-b）的值.

分析：将关于x，y的方程组的解代入方程组中，得到关于a，b的方程组，解此方程组，然后求代数式的值.

解：把[x=3，y=-2]代入方程组，得[3a-2b=3， ①3b-2a=-7. ②] 由①+②，得a+b=-4.

由①-②，得5a-5b=10，即a-b=2.

所以（a+b）（a-b）=-4×2=-8.

评注：解决此类题目时注意观察代数式的结构，尝试运用整体代入法求代数式的值，不一定要解出方程组的解，有的题目可以根据未知数的系数特点选择较简单的解题方法.

练习2 已知x，y满足方程组[x+6y=12，3x-2y=8.]则x+y的值为（ ）

A.9 B.7 C.5 D.3

三、二元一次方程（组）的应用

例3 （2016·徐州）小丽购买学习用品的收据如下表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表：[商品名＼&单价（元）＼&数量（个）＼&金额（元）＼&签字笔＼&3＼&2＼&6＼&自动铅笔＼&1.5＼&·＼&·＼&记号笔＼&4＼&·＼&·＼&软皮笔记本＼&·＼&2＼&9＼&圆规＼&3.5＼&1＼&·＼&合计＼&＼&8＼&28＼&]

解决下列问题：

（1）小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？

（2）若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？

分析：（1）由“购买数量为8”和“购买总金额为28元”得出两个等量关系，由此列出方程组.

（2）由题意可列出二元一次方程，根據自动铅笔和记号笔是正整数分析该二元一次方程的解.

解：（1）设小丽购买自动铅笔x支，记号笔y支.根据题意，得

[x+y=8-2+2+1，1.5x+4y=28-6+9+3.5.]

解得[x=1，y=2.]

答：小丽购买自动铅笔1支，记号笔2支.

（2）设小丽购买软皮笔记本m本，自动铅笔n支.根据题意，得

[92]m+1.5n=15，即n=10-3m.

又因为m，n都是正整数，

所以[m=1，n=7]或[m=2，n=4]或[m=3，n=1.]

答：共有三种方案：

方案一：1本软皮笔记本和7支记号笔；

方案二：2本软皮笔记本和4支记号笔；

方案三：3本软皮笔记本和1支记号笔.

评注：运用方程（组）解决实际问题时，关键要找出实际问题中的等量关系，通过设未知数来列出方程（组）.运用二元一次方程求解某物体的数量时，注意该物体的数量为非负整数，由此可讨论出该二元一次方程的解.

练习3 某商场投入13 800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如下表所示：[＼&成本价（元/箱）＼&销售价（元/箱）＼&甲＼&24＼&36＼&乙＼&33＼&48＼&] [类别][单价]

（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？

（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？

四、一元二次方程的解及解法

例4 （2016·山西）解方程：2（x-3）2=x2-9.

分析：先移项，然后运用平方差公式和提公因式法解方程.

解：移项，得2（x-3）2-（x2-9）=0.

因式分解，得2（x-3）2-（x+3）（x-3）=0，

（x-3）（2x-6-x-3）=0，

（x-3）（x-9）=0.

∴x-3=0或x-9=0.

∴x1=3，x2=9.

评注：解方程时要根据方程的特点选择比较简单的方法解方程.

练习4 解方程：x2-6x-4=0.

五、一元二次方程的应用

例5 （2016·毕节）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6 000万元.2016年投入教育经费8 640万元.假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同.

（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；

（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元.

分析：设年平均增长率，根据两年增长率相同列出2016年教育经费投入资金表达式，由此列出方程.

解：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x.根据题意，得

6 000（1+x）2=8 640.

解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）.

答：这两年该县投入教育经费的年平均增长率为20%.

（2）因为2016年该县投入教育经费为8 640万元，且增长率为20%，

所以2017年该县投入教育经费为8 640×（1+20%）=10 368（万元）.

答：预算2017年该县投入教育经费10 368万元.

评注：有关增长率的问题，往往要用到公式：M=a（1+x）n，这里a表示增长的基数，x表示每次的增长率，n表示增长的次数，M表示增长n次后的量.

练习5 某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销量不佳，为减少库存积压，两次连续降价打折处理，最后价格调整为每套128元.若两次降价折扣率相同，则每次的降价率为（ ）

A.8% B.18% C.20% D.25%

例6 （2015·湖北）如图1，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 m2？ [住房墙][1 m] [图1]

分析：设猪舍垂直于住房墙一边的长为x m，用x表示出平行于墙的一边的长，由矩形的面积公式即可列出方程.

解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边的长为x m，则平行于墙的一边的长为（25-2x+1） m，即（26-2x） m.由题意，得

x（26-2x）=80，

化简，得x2-13x+40=0.

解得x1=5，x2=8.

当x=5时，26-2x=16>12（舍去），

当x=8时，26-2x=10<12.

答：所围矩形猪舍的长为10 m、宽为8 m.

评注：运用一元二次方程解决实际问题时，必须要根据实际情况验证方程的根是否符合题意，不符合题意的根舍去.

练习6 某小区在绿化工程中有一块长为18 m、宽为6 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60 m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图2），求人行通道的宽度. [6 m][18 m][图2]

六、分式方程的解及解法

例7 （2016·乐山）解方程：[1x-2]-3=[x-12-x].

分析：先去分母，将分式方程转化为整式方程，然后按照整式方程的步骤求解，最后检验根.

解：方程两边同乘以x-2，得

1-3（x-2）=-（x-1），即-2x=-6.

解得x=3.

檢验：当x=3时，x-2≠0.

所以原方程的解为x=3.

评注：解分式方程时，一定要检验方程的根是否有意义，注意增根.

练习7 关于x的方程[3x-2x+1]=2+[mx+1]无解，则m的值为（ ）

A.-5 B.-8

C.-2 D.5

七、分式方程的应用

例8 （2016·岳阳）我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动.已知学校与君山岛相距24 千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5 倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时.

分析：由“路程÷速度=时间”和“服务人员所花时间比学生少用了3.6 小时”即可列出方程.

解：设学生步行的平均速度是每小时x 千米，则服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x 千米.根据题意，得

[24x]-[242.5x]=3.6.

解得x=4.

经检验，x=4是原方程的解，且符合题意.

答：学生步行的平均速度是每小时4 千米.

评注：运用分式方程解决实际问题时，既要考虑方程的根是否使方程有意义，又要考虑方程的根是否符合实际意义.

练习8 “母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3 000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5 000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元？

八、方程与函数的综合应用

例9 已知一次函数y=-mx+3和y=3x-n的图象交于点P（2，-1），则关于x的方程组[mx+y=3，3x-y=n]的解是 .

分析：理解方程组[mx+y=3，3x-y=n]的解与一次函数y=-mx+3和y=3x-n的图象的交点P（2，-1）的纵横坐标的关系.

解：∵一次函数y=-mx+3和y=3x-n的图象交于点P（2，-1），

∴方程组[mx+y=3，3x-y=n]的解是[x=2，y=-1.]

评注：本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解函数的图象的交点与方程组的解之间的关系.

练习9 已知二元一次方程组[x-y=-5，x+2y=-2]的解为[x=-4，y=1，]则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y=x+5与直线l2：y=[-12]x-1的交点坐标为 .

例10 （2016·菏泽）如图3，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（-2，6），C（2，2）两点.

（1）试求抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为D，求△BDC的面积；

（3）若直线y=[-12]x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B，C）部分有两个交点，求b的取值范围.[O][x] [y] [B][C][D][图3] [-2 -1 1 2 3 4 5 ][7

6

5

4

3

2

1

-1][·][·][·]

分析：（1）运用待定系数法列方程组求抛物线的解析式.

（2）运用配方法求出二次函数的顶点D的坐标，再求出直线BC与对称轴的交点H的坐标，根据S△BDC=S△BDH+S△DHC求出S△BDC.

（3）联立一次函数y=[-12]x+b和二次函数的解析式，列方程组，根据题意求出b的取值范围.

解：（1）将点B，C的坐标代入解析式中，得

[4a-2b+2=6，4a+2b+2=2.]

解得[a=12，b=-1.]

∴抛物线的解析式为y=[12]x2-x+2.

（2）∵y=[12]x2-x+2，

∴y=[12]（x-1）2+[32].

∴抛物线的顶点D的坐标为（1，[32]）.

设直线BC的解析式为y=mx+n，

把B（-2，6），C（2，2）代入，得[-2m+n=6，2m+n=2.]

解得[m=-1，n=4.]

∴直线BC的解析式为y=-x+4.

∴抛物线的对称轴直线x=1与直线BC的交点H的坐标为（1，3）（如图4）.[O][x] [y] [B][C][D][图4] [-2 -1 1 2 3 4 5 ][7

6

5

4

3

2

1

][·][·][·] [-1] [H]

∴DH=3[-32][=32].

∴S△BDC=S△BDH+S△DHC[=12]×[32]×3[+12]×[32]×1=3.

（3）直線y=[-12]x向上平移b个单位得直线y=[-12]x+b，

联立一次函数y=[-12]x+b与二次函数的解析式，得[y=-12x+b，y=12x2-x+2.]

消去y，得x2-x+4-2b=0.

当Δ=0，即1-4（4-2b）=0时，直线与抛物线只有一个交点.

解得b=[158].

当直线y [=-12]x+b经过点C（2，2）时，b=3，

当直线y [=-12]x+b经过点B（-2，6）时，b=5.

∵直线y [=-12]x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B，C）部分有两个交点，

∴[158]

评注：求直线与抛物线是否有交点时，可将两个函数的解析式联立成方程组，然后转化为一元二次方程，根据根的判别式判断交点情况.当方程有两个不相等的实数根时，直线与抛物线有2个交点；当方程有两个相等的实数根时，直线与抛物线有1个交点；当方程没有实数根时，直线与抛物线没有交点.

练习10 如图5，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴只有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点.[O][x][y][A][B][C][图5]

（1）求这条抛物线对应的函数解析式；

（2）求直线AB对应的函数解析式.

九、方程与几何的综合应用

例11 （2015·柳州）如图6，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8 cm，AD=12 cm，BC=18 cm，点P从点A出发以2 cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动.设点P，Q运动的时间为t s. [A][B][C][P][Q][图6][D]

（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？

（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？

分析：（1）已知AD∥BC，添加PD=CQ即可判断以P，Q，D，C为顶点的四边形是平行四边形.

（2）分三种情况讨论：①∠CQP=90°，

②∠CPQ=90°，③∠PCQ=90°.

解：（1）由题意，得点P在AD上，PD∥BC，当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形，即12-2t=t.

解得t=4.

∴当t=4 s时，四边形PQCD是平行四边形.

∴当t=4 s时，PQ∥CD.

（2）如图7，过点D作DF⊥BC于F. [A][B][C][P][Q][图7][D] [P][1][Q][1][F]

∴DF=AB=8 ，CF=BC-AD=18 -12 =6 ，CD=10 .

①当PQ⊥BC时，点P在AD上，则BQ+CQ=18 ，即2t+t=18.

解得t=6（s）.

②当QP⊥PC时，点P在DC上（如图7），CP1=10+12-2t=22-2t，CQ1=t，

易知，△CDF∽△CQ1P1，

∴[CP1CF]=[CQ1CD]，即[22-2t6]=[t10].

解得t=[11013]（s）.

③当PC⊥BC时，∠PCQ=90°.

又∠DCB<90°，

∴这种情况不存在.

综上所述，当t=6 s或[11013] s时，△PQC是直角三角形.

评注：解决关于几何图形的动点问题时，往往根据动点的时间和速度设某一边长为未知数，然后再用该未知数表示出其他线段的长，再根据图形的性质找出等量关系列方程.

练习11 如图8，在△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，点P从点A开始沿AC边向点C以1 cm/s的速度运动，在点C停止，点Q从点C开始沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动，在点B停止. [A][B][C][P][Q][图8]

（1）如果点P，Q分别从A，C同时出发，经过几秒钟，使S△QPC=8 cm2；

（2）如果点P从点A先出发2 s，点Q再从点C出发，经过几秒钟，使S△QPC=4 cm2.