“数轴”在数概念教学中的应用

江苏常熟市昆承小学 丁月芳

“数轴”在数概念教学中的应用

江苏常熟市昆承小学 丁月芳

华罗庚所言“数无形时少直觉，形少数时难入微”形象生动、深刻明了地指出了数形结合思想的价值，也揭示了数形结合思想的本质。我们在研究抽象的“数”时，往往要借助于直观的“形”，利用“数形结合”能使“数”和“形”统一起来，学习数离不开数轴，它反映了新的课程观渗透数形结合思想的必要性和可行性。本文以“数轴”为例阐述数形结合思想在数概念教学中的应用。

数轴 概念教学 数感培养

吴亚萍教授把概念教学分为“数概念、形概念、统计概念、度量概念”，其中“数概念”是指整数、小数、分数、平均数等与“数”有密切关系的概念，是小学数学教学的重要组成部分，是学生进一步学习数的运算、与数有关的数学问题的基础，是培养学生数感、符号感的重要载体。学生在研究数学问题时，由数思形、见形思数、数形结合考虑问题是一种常用的思想方法。数形结合不仅是一种数学思想，也是一种很好的教学方法。在我校开展的卷入式校本教研活动中，我们开辟了一个数概念教学之数轴篇，通过实践与研究，得到一些关于数概念教学的启示，下面就从中采撷一些教学案例对如何借助数轴进行数概念教学谈一些粗浅的体会。

一、借助数轴，发展数感培养

数感的培养是数与计算教学领域改革的一个重要理念，学生数感的建立需要一个逐步体验和发展的过程，小学阶段培养数感都是运用“数形结合”，给学生提供丰富的学习素材，形象地感知数的实际意义，使学生在数学学习过程中逐步形成良好的数感。小学生对直尺非常熟悉，学生在认数的学习中，通常以直尺为原型，逐步经历了从“数尺”到“数线”再到“数轴”的过程，把数与“数尺”“数线”“数轴”上的点一一对应起来。

如在教学“负数”后，教师可在数轴上表示出正数和负数的排列顺序。

首先引导学生观察“0”在数轴上的特殊位置，以“0”为分界点，0的右边是正数，从左往右越来越大，0的左边是负数，从右往左越来越小。借助数轴形象地感知数轴上的数从左往右的顺序就是从小到大的顺序，比0大的数是正数，比0小的数是负数，0既不是正数也不是负数，实现对数的知识的整体构建。

俞正强老师在“数感，是如何丰满起来的”一文中指出：在学习“负数”之前，数大多表示“多”与“少”，可在学习负数的过程中，“数”不仅可以表示“多”“少”，更表示状态。这是数感的又一次突破。这种数感的突破，最明显地表现在对“0”的认识上。在这之前，“0”通常表示“没有”，而在负数的认识中，“0”则表示一种可以作为区别的状态，即通常说的“标准”……这种相对性的体验，谓之为数感的培养。

可见，我们在研究抽象的“数”时，往往要借助于直观的“形”，利用“数形结合”使“数”和“形”统一起来，丰富学生对数的形象感知，进一步发展学生的数感。

二、借助数轴，把握概念本质

在日常教学中，许多教师不能把握概念本质，以致学生对数概念的理解和认识浅尝辄止、浮于表面。借助数轴可以紧扣概念的本质，展示概念的形成过程，帮助学生全面理解、准确把握概念的实质。

如在教学《求一个小数的近似数》时，以“1.496保留两位小数”为例，应用“四舍五入法”求小数的近似数并不难，学生真正难理解的是“近似数1.50”末尾的“0”能不能去掉，为什么？对于大多数学生而言，一般只能从小数的外在形式进行解释：近似数1.50末尾的“0”不能去掉，去掉了就相当于保留一位小数。要真正从小数的内在本质理解“近似数1.50和1.5精确度不同”这个问题，就需要应用“数形结合”思想来帮助学生透彻理解其中的原理，而“数轴”自然就是本课的“主角”。

下面是我利用“小数轴”启发学生“大思考”的教学片段。

先给学生提供标有1.4、1.5、1.6的数轴，并提出研究要求：在1.4～1.6之间可以分别找到几个两位小数？能得到近似数为1.5的两位小数又有哪些？再观察一下这些小数在数轴上的位置有什么特点？可以独立探究，也可以小组合作。

经过讨论，呈现数轴（1）：

在学生充分发表自己的观点后，我利用多媒体把1.45～1.54这个区域刷红，引导学生仔细观察这个红色区域：以1.5为起点，从左往右依次数出4个两位小数：1.51、1.52、1.53、1.54，它们的百分位上都没满5，在数轴上的位置更接近1.5，所以要忽略不计百分位上的数，取1.5，也就是“四舍”。再以1.5为起点，从右往左也可以依次数出4个更接近1.5的两位小数：1.49、1.48、1.47、1.46，它们的百分位上都满了5，要向十分位上的数进一，也就是“五入”。至于1.45，其实它刚好在1.4～1.5的正中间，离1.4和1.5的距离是相同的，那就鼓励鼓励它吧，让它向大数靠拢。这样，就产生了“四舍五入”的方法。

此时，学生们不仅对“四舍五入”法有了更深刻的理解，同时对得到近似数1.5的两位小数的范围有了一个直观形象的感知。于是，我继续抛出问题：“按照刚才的研究方法，你能在数轴上找一找精确到百分位可以得到近似数1.50的三位小数有哪些，这些小数在数轴上的位置又有什么特点呢？”

经过讨论，呈现数轴（2）：

从数轴上可以看出近似数是1.50的三位小数在1.495～1.504之间。随即利用媒体把数轴（1）和数轴（2）合二为一，引导学生进行对比，你有什么发现？

呈现数轴（3）：

此刻，学生的发现无疑是精彩纷呈的……

上述教学案例表明：由于数轴实现了数与形的联姻，将数与直线上的点建立了对应关系，揭示了数与形的内在联系，从而使抽象的“数”有“形”可依。通过借助数轴对比，让学生直观感受近似数是1.5的两位小数在1.45～1.54之间，而近似数是1.50的三位小数在1.495～1.504之间，范围小了。所以作为近似数，1.5不等于1.50，近似数1.50末尾的“0”是不能去掉的。1.50比1.5更精确。

数轴不仅可以帮助学生理解求近似数的方法，更能让他们借助“形”理解“近似数”所蕴含的数学本质！

三、借助数轴，厘清纵横关系

儿童数概念的发展不仅表现在概念本身的不断充实和改造上，而且表现在概念系统的掌握上，因为小学生要掌握的概念不是各自孤立、互不相关的，任何一个概念总是与其他有关概念有一定区别又有一定联系的。因此，教师要经常不失时机地引导学生掌握有关概念之间的区别和联系，完成概念的系统化。

如《因数与倍数》这一单元，涉及的概念很多，尤其是如何处理好“奇数、偶数”与“质数、合数”之间错综复杂的关系，是一个值得探究的重要环节。每一次尝试过后，总有一种隐隐的缺憾，在不断实践和完善的过程中，最终还是确定以“数轴”为突破口进行本章节的数概念教学。

板块一：关于奇数和偶数。

①数轴上圈出奇数。

②交流奇数，没有圈的数是？（将偶数读一读）

观察数轴上的奇数和偶数，你有什么发现？

若n是奇数，那么n+1就是？若n是偶数，那n+1就是……

③把数轴上的奇数偶数分别移下来，形成两个集合。数轴上还有数字吗？根据是不是2的倍数，所有非零自然数不是奇数，就是偶数。

随着数轴的继续无限延伸，我们还会找到更多的奇数和更多的偶数，奇数和偶数都有无数个。

板块二：关于质数和合数。

①在数轴上圈出质数。

②交流质数，没圈出来的就都是合数？为什么1既不是质数也不是合数？

质数和合数的排列有规律吗？除了2和3两个质数是连着的，你觉得后面会不会还有连着的两个质数？说说你的理由。

③把数轴上的质数、合数分别移下来，形成集合圈。数轴上的数都移下来了吗？根据因数的个数可以把非零自然数分成三大类，其中，质数和合数的个数是无限的。

板块三：两种分类之后。

①同样是非零自然数，分类标准不同，分类的结果也不一样。同一标准分类出的数学概念之间界限清晰，你是你，我是我。但不同分类标准之间的概念是否有联系呢？比如，奇数和合数质数之间，偶数和合数质数之间又有什么联系呢？

②先独立观察，再小组讨论。

集体交流，说说你的发现。结合交流课件相应呈现。

上述教学环节，教者充分挖掘教材，非常重视数形结合思想的渗透，巧妙利用数轴找出20以内的奇数、偶数，整理进集合圈，通过移一移的方式让学生直观感受到一个非0自然数不是奇数就是偶数；同理，整理20以内的质数和合数，使学生清晰地看到一个非0自然数按因数的个数可以分为三类：质数、合数和1。学生可以清晰地发现奇数、偶数中的“一一对应”，又通过质数、合数没有明显的排列规则中联想和辨析是否还有像2、3这样两个连续自然数都是质数的情况，思考最多有几个连续自然数都是合数的问题。但教师并未就此结束，而是继续利用数轴找寻按不同分类标准得到的概念之间的联系，不但找出了不同分类标准中各数字的不同，更关注了数与数之间存在联系的数字：“2是奇数与质数间的障碍，9和15是奇数与合数间的联系。”可谓联系中有区别，区别中有联系。

利用数轴，直观形象地厘清了奇数和合数、质数之间，偶数和合数、质数之间的关系，不仅发展了观察和概括能力，而且提升了推理和证明的思维水平。可见，数轴的更大作用是把数的抽象概念直观地表达出来，既能帮助学生触摸概念的本质，又可以促进学生对概念的深入辨析。

四、借助数轴，构建知识网络

由于数概念包括整数、分数、小数、负数等，基本概念较多，加之教材采用“螺旋式上升”的编排原则，把“数的基本概念”分解到了六个年级的12本书中，以一个个知识点的方式呈现这些概念，使得教学容易出现知识点“多、散、杂”的状态，容易形成学生“只见树木不见森林”的局面，从而使学生对数的认识和理解呈现出碎片式的散点化状态。

“数的认识”知识点多且较为零散，而数轴具有直观和抽象的优势，能充分体现数的本质属性。教师始终借助数轴，引导学生在解决问题的过程中不断调动已有的知识经验，利用数形结合帮助学生厘清各种数概念的意义，计数方法、表示方法和分类等，同时在相互转化中又暗含着各种数之间是彼此联系的。引导在更高层面上理解和把握数的概念，进一步完善认知结构，通过辨析，让学生体会到：整数是以自然数单位“1”为基本计数单位，再按“十进制”的规则生成其他计数单位，而分数在单位“1”确定后，“平均分”的份数不同，分数也不同，所以分数单位与单位“1”之间不像整数有固化的十进关系，作为分数和整数的结合体——小数，它的意义要借助分数的意义来表述。因此，当单位“1”确定后，同一个点可以用不同的分数、小数来表示。

“基础知识贵在求联，基本技能贵在求通”，郑教授的这句至理名言预示着复习本身就是一个“串点成线”的过程。这一过程既是学生对书本知识系统内化并达到个性化和创造性拥有的过程，也是师生积极互动、有效生成的过程。在思考讨论中，学生自觉运用原有的知识储备，各个知识点不断被激活，探索的视野不断开阔，知识之间不断产生新的链接，理一点明一片，理一片会一面，不知不觉中，学生对整个知识网络完成了新的建构。

实践表明：数形结合思想能使“数”和“形”统一起来，从而丰富学生对数的形象感知，而借助“数轴”能有效落实数概念关于如何发展数感培养，把握概念本质、厘清纵横关系、构建知识网络的教学目标，有利于学生体验与感悟数形结合思想，积累借助图形表征数概念的经验，提升数学学习能力。