高考导数综合题常用的数学思想与方法

■广东省信宜砺儒中学 伍玲华

高考导数综合题常用的数学思想与方法

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导数综合题主要考查利用导数解决恒成立或证明不等式等问题。需要同学们具有较强的分析能力和计算能力,找到解决这类问题的方法是高考取得高分的关键。本文研究几种常用的数学思想与方法。

一、数形结合思想

数形结合思想是解决许多数学问题的有效思想,利用数形结合使“数”和“形”统一起来,以形助数,以数辅形,可以使许多数学问题变得简单。在导数综合题中常用数形结合思想解决函数的单调性、最值及零点等问题。

分析:本题考查函数在给定区间上有两个不同的根,需要通过求导研究其单调性及最值,从而画出大致图像,通过图像分析,求出实数a的取值范围。

当00,则r(x)单调递增;当x>1时,r'(x)<0,则r(x)单调递减,所以r(x)在x=1处取到最大值r(1)= 1。如图1,又x→0时r(x)→-∞;x→+∞时r(x)→0,所以要使与y=a有两个不同的交点,则有0

图1

二、分类讨论思想

在利用导数解决含参函数的单调性、极值、最值等问题时,常常要对参数进行分类讨论。分类讨论时应注意参数隐含的条件及要解决的问题,做到不重复、不遗漏地分类讨论。

分析:利用题设中的不等式恒成立,运用导数知识逆向分析推证,借助题设运用分类讨论思想及导数的知识求出参数的取值范围。

maxh(0)=0,由题意得,则0≥λ+,结合,可知λ不存在。③当,即时, h(a)max=h(2)=6λ-8。由题意得h(a)max≥,则,结合,可知

三、构造法

导数中有一些创新题、综合题、不等式证明题,直接求解十分困难,但通过构造恰当的函数就可以使问题迎刃而解。纵观近几年的高考试题,可归纳出构造函数的五种常见方法:(1)通过导数运算法则(作差、作商)构造; (2)等价变形之后构造;(3)利用结构的相似性构造;(4)局部构造;(5)换主元构造。

分析:将所要证明的式子变形,建立一个函数g(x),求导后再建立一个新的函数h(x),然后求导。需要用到两次求导,通过最值确定正负号,再来确定原函数的单调性,进而利用函数的单调性来解不等式恒成立问题,这是解决这类问题最常见的思路方法。

解:不等式f(x)≥a对于x>0的一切值恒成立,等价于xlnx+a+e-2-ax≥0对于x>0的一切值恒成立,记g(x)= xlnx+a+e-2-ax(x>0),则g'(x)= lnx+1-a。

令g'(x)=0,得x=ea-1,当x变化时, g'(x),g(x)的变化情况如表1:

表1

所以g(x)的最小值为g(ea-1)=a+e-2-ea-1。

记h(a)=a+e-2-ea-1(a≥0),则h'(a)=1-ea-1,令h'(a)=0,得a=1。当a变化时,h'(a),h(a)的变化情况如表2:

表2

当0≤a<1时,函数h(a)在(0,1)上为增函数,,即g(x)在(0,+∞)上的最小值h(a)>0,满足题意;

当1≤a≤2时,函数h(a)在[1,2]上为减函数,h(a)≥h(2)=0,即g(x)在(0, +∞)上的最小值h(a)≥0,满足题意;

当a>2时,函数h(a)在(2,+∞)上为减函数,h(a)

综上,所求实数a的取值范围为[0,2]。

(责任编辑 王福华)