函数与导数的综合性问题

■江苏省南通市第二中学高中部 丁玉娟

函数与导数的综合性问题

■江苏省南通市第二中学高中部 丁玉娟

导数是研究函数的工具,导数进入新教材之后,给函数问题注入了生机和活力,开辟了许多解题新途径,拓展了高考对函数问题的命题空间,所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情。从近年来的高考试题可以看出,对函数的命题已不再拘泥于一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数及对数函数等,对研究函数的目标也不仅限于求定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性及周期性等,而是把高次多项式函数、分式函数、指数型函数、对数型函数,以及初等基本函数的和、差、积、商都作为了命题的对象,试题的命制往往融函数、导数、不等式及方程等知识于一体,通过演绎证明、运算推理等理性思维,解决单调性、极值、最值、切线、方程的根及参数的范围等问题。这类试题难度很大、综合性强、内容新、背景新、方法新,是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程、分类与整合、数形结合、化归与转化、有限与无限、特殊与一般等数学思想。下面我们举例说明函数与导数的综合性问题。

考查内容之一:求参数的取值范围

(山西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中2017届高三第一次联考)已知函数f(x)=2x+sinx+ln(x2+1+ x),若不等式f(3x-9x)+f(m·3x-3)<0对任意x∈R均成立,则m的取值范围为( )。

点评:解决此类问题要处理好抽象与具体的关系。f(x)=2x+sinx+是具体的函数,如果把3x-9x,m·3x-3代入已知函数,再解不等式f(3x-9x)+f(m·3x-3)<0就小题大做了,不是明智的选择,利用函数的单调性则能化繁为简,顺利求解。

考查内容之二:求值

设切点A(x0,sinx0),因为y'=cosx,

点评:本题考查了极值概念、导数几何意义的运用、向量知识的转化,以及三角函数的求值等。

已知函数f(x)=ex+ax-1 (a∈R)。

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;

解析:(Ⅰ)因为f(x)=ex+ax-1,所以f'(x)=ex+a。

当a≥0,时,∀x∈R,有f'(x)>0,所以函数f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增。

当a<0时,由f'(x)>0,得x> ln(-a);由f'(x)<0,得x

综上所述,当a≥0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(ln(-a),+∞),单调递减区间为(-∞,ln(-a))。

(Ⅱ)g(x)=(x2-a)e2-x,方程-x2+ 2x+a=0有两个不同的实根x1,x2(x1< x2),所以Δ=4+4a>0,即a>-1,且x1+ x2=2。又x1

(1)当x1=0时,不等式x1[2e2-x1-λ(e2-x1+1)]≤0恒成立,λ∈R。(2)当x1∈(0,1)时,[2e2-x1-λ(e2-x1+ 1)]≤0恒成立,即令函数,显然,k(x)是 R上的减函数。故当x∈(0,1)时,k(x)<

(3)当x1∈(-∞,0)时,[2e2-x1-λ(e2-x1+1)]≥0恒成立,即由(2)知,当x∈(-∞,0)时,k(x)>k(0)=所以

考查内容之三:求最值

已知函数f(x)=e2x,g(x)=,∀a∈R,∃b∈(0,+∞),使得f(a)=g(b),则b-a的最小值为( )。

解析:由f(a)=g(b),可得e2a=lnb+。令,则,所以,所以令f0,得,所以当时,f(t)为递减函数,当时,f(t)为递增函数,所以b-a的最小值为。故选A。

A.8 B.9 C.10 D.11

解析:f'(x)=1-x+x2-x3+…+ x2018,当x=-1时,f'(x)>0,当x≠-1时,,若x< -1,则f'(x)>0,若x>-1,则f'(x)>0,故函数f(x)在R上为增函数。又因为0,f(0)=1>0,所以函数f(x)在其定义域内的区间(-1,0)上只有一个零点,同理可证明函数g(x)在R上为减函数,由于g(1)=0,所以函数g(x)在(1,2)上有一个零点,所以F(x)=f(x+3)·g(x-4)在区间(-4, -3)或(5,6)上有零点,由于F(x)的零点在区间[a,b]上,所以b-a的最小值为6-(-4)=10。故选C。

考查内容之四:证明不等式

已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足:0

证明:(Ⅰ)先用数学归纳法证明:0< an<1,n=1,2,3,…。

①当n=1时,0

②假设当n=k(k>1)时,结论成立,即0

当00,所以f(x)在(0,1)内单调递增。

又f(x)在[0,1]上连续,所以f(0)< f(ak)

所以,当n=k+1时,结论成立。

由①、②可得,0

又0

由(Ⅰ)知,当0f(0),即sinx

因为g(x)在[0,1]上连续,且g(0)=0,所以,当00,所以g(an)>0,即,即an-sinan=an+1,所以

点评:本题以函数为载体,考查导数及其应用、数学归纳法、构造法、不等式证明、递推数列等基础知识和基本技能,考查同学们的分析、判断、推理和运算能力,以及等价转化的数学思想,是道很好的题。

总之,函数与导数的综合性问题,主要有:①含参函数的单调区间;②已知函数在某一区间上是减函数(或增函数),求参数的取值范围;③由切点、切线、极值点等,求函数解析式;④证明与计算一些几何问题(面积定值,恒过一定点等);⑤比较大小或证明不等式或解不等式;⑥已知方程的根的个数(零点),求参数的取值范围;⑦恒成立问题;⑧极值或最值问题。高考试题会从这些考点中选择几个问题进行考查,分值在26分左右。该类试题的特点是:①以填空题、选择题考查导数的概念、求函数的导数、求函数的单调区间、求函数的极值与最值;②与导数的几何意义相结合的函数综合题,利用导数求解函数的单调性或求单调区间、最值、极值,属于中档题;③利用导数求实际应用问题中的最值,属于中档偏难题;④利用导数解决零点问题及证明不等式等问题,属于难题。

复习时,同学们要“回归”课本,浓缩所学的知识,夯实基础,熟练掌握解题的通性、通法,提高解题速度。同时,许多高考试题在教材中都可找到原型,即由教材中的例题、习题引申变化而来。因此,同学们必须要利用好课本,夯实自己的基础知识。

(责任编辑 王福华)