圆锥曲线极值问题的解题技巧

张玉勋

【摘要】众所周知，圆锥曲线是高中数学的重要教学内容，也是历年高考的必考点.圆锥曲线的知识点繁多、复杂，并且在问题设置上经常与其他知識点紧密地联系在一起，因此，此类问题的综合性强、难度大，学生对于解答此类问题往往感觉无从下手，甚至看到此类问题就直接放弃.

【关键词】高中数学；圆锥曲线；极值问题

有关圆锥曲线的极值问题，内容十分丰富，联系极为广泛，它既包括了代数、几何及三角等学科中的很多的基础知识，又容纳了很多的技巧.容量大、综合性强、相互渗透是该问题的基本特征.从近些年的数学高考可以看出，该类问题往往考查考生综合运用数学知识、思维敏捷程度和解决问题的能力.因此，本文将通过一些实例，对圆锥曲线的极值问题的解题技巧进行深入的剖析.

一、二次函数法

所谓二次函数法，就是利用二次函数的性质去解决问题，但是二次函数的性质比较多，因此，用何种性质、怎么用，可以说是解题技巧的重点所在.由于此类问题要求极值，所以利用二次函数的特有性质：对二次函数

解析要想求出其两者之间的最小距离，就必须将两者之间的距离用函数表达式列出，然后，进行求解.因此，不妨设抛物线上的一点为Q（x1，y1），则y21=2x1，由两点之间的距离公式，得|PQ|=（x1-4）2+y21=x21-6x1+16.因为被开方数二次项的系数为正，所以当x=3时，（x21-6x1+16）min=7，即|PQ|min=7.

点拨通过该例题我们可以看出，利用二次函数法进行求圆锥曲线的极值，其实质就是将解析几何的问题转化为二次函数的问题.其中需要特别留意的是，该类方法的难点之处就在于，如何建立二次函数，因此，在利用此方法进行解题时要灵活运用其他知识.

二、不等式法

所谓不等式法，就是利用不等式的相关知识进行解题、求值.利用不等式求最值是高中数学的常用方法之一，因此，此方法在求圆锥曲线的极值问题时也有很大的应用.但是需要注意的是，在利用该方法进行解题时，也要注意其前提条件，例如，a≥0，b≥0或者a，b为实数等.

三、定义法

所谓定义法，顾名思义就是利用相关的定义进行解题.有一些圆锥曲线求极值的题目，应用其他一些方法很难解决问题，此时可以考虑回到其定义中去，不仅可以加深对曲线极值的理解，有时还会使解题过程更加简洁.

例3长度为l的线段AB，其两端点在抛物线y=x2上移动，求AB的中点M到x轴的最短距离为.

点拨通过例题我们可知，要想很好地利用定义法进行解题，一方面，要对圆锥曲线的定义要有充分的记忆和了解.另一方面，要对圆锥曲线的一些性质要有很好的认知.由于高考越来越重视对书本知识的考查，定义法将会被命题者重视，因此，学生要对此方法要有很好的理解并且能灵活运用.

综上所述，圆锥曲线的极值问题经常会出现在高考的填空题中，因此，要想实现高效、巧妙的解题，掌握其解题技巧就十分重要了.当然本文只是涉及了一些常用的方法，学生要想更多地了解并掌握一些技巧，就需要在平常的学习中慢慢探索.