巧妙变换来解题

陈正亮

巧妙变换来解题

陈正亮

初中图形变换包含平移、翻折和旋转，在几何解题中，要把握变换的本质，在图形的运动中找到不变量，然后解决问题.变换的本质是使原有图形的性质得以保持，改变其位置，使其转化成新的有利于我们论证解答的几何图形.下面我们一起来看一下具体问题.

例1 已知：如图1，在△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的范围.

图1

【分析】采用倍长中线的方法，可以将△ADC绕点D旋转180°，构造与之全等的三角形，然后利用“三角形两边之和大于第三边”可解.当然也可以考虑在边AB或AC上取中点，构造中位线，再用三角形三边的性质解得.（请同学们自行完成，答案：1＜AD＜4）

变式练习1 如图2，在△ABC中，D为BC的中点，AB=13，AD=6，AC=5.请猜想AD与AC的位置关系，并给出证明.（可以用两种思路去考虑一下）

图2

【小结】条件里面有中线，即可联想到利用中位线来转化相应的已知条件，或者倍长中线，将它们集中在一个三角形中，从而找出三条边长之间的联系.

例2 已知：如图3，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上一点，且BE+DF= EF.求∠EAF的度数.

图3

【分析】将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，然后再利用“SSS”证明△AEG≌△AEF.

变式练习2 如图3，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，E、F分别在BC与CD上.求证:EF= BE+DF.

【小结】利用正方形的边长相等，通过旋转一定的度数，把两条线段集中到同一条线段上（补短法），再由相应的三角形全等证得结论.变式实际上与例题2属于互逆命题，请同学们注意认真体会，今后解题往往能事半功倍，举一反三.

例3 如图4，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为______.

图4

解：在AC的延长线上截取CE=BM，连接DE.

∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，

∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°，

在△CDE和△BDM中，

∴△CDE≌△BDM（SAS），

∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，

∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，在△DMN和△DEN中，

∴△DMN≌△DEN（SAS），

∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，

△AMN的周长=AN+MN+AM=AN+NC+ BM+AM=AB+AC=6.

【小结】通过图形补全构造全等三角形，利用的思维模式是全等的“平移”和“翻转折叠”.

例题4 如图5，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且AD=6，CD=3.求BD的长.

图5

【分析】本题的已知条件中有个45°的角，我们可以考虑把45°的角转化到等腰直角三角形或者正方形中去.解题方案中有多种利用相似形或者解直角三角形来处理的方法.在这里介绍一种比较巧妙的方法.通过将Rt△ABD和Rt△ACD分别向外作轴对称图形，可以自然构造出正方形AEFG，而正方形的边长就是高AD=AE=EF=AG=FG=6.设BD=x，则BF=6-x.由对称变换可以得到BE=BD，CG=CD，在Rt△BCF中，由勾股定理得（6-3）2+（6-x）2=（3+x）2，解得：x=2，即BD=2.（解答过程略）

变式练习3 如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0），B（-6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为______.友情提醒：坐标点C有两个位置（0，12）和（0，-12）.

图6

【小结】重点考查了45°角与90°角之间的关系，利用构造正方形这个特殊的基本图形来解决，类似的一些问题还有对30°角与60°角的考查，半角或倍角关系等.

总之，几何学研究图形的形状、大小及位置，而在初中阶段对图形位置问题的研究中，常见的变换问题占了很重要的一块，希望同学们多加体会.

（作者单位：江苏省常州市金坛区华罗庚实验学校）