大胆判断 小心说理

许 琴

大胆判断 小心说理

许 琴

近几年的中考试题中，判断说理型问题频频“亮相”，引起了大家的高度重视.谈起解决这一类问题，相信大家脑海里都会浮现出“大胆判断，小心说理”这八个字.“判断”——即根据学过的数学定义、定理等知识，经过合情合理的猜想，从而作出正确的判断；“说理”——即根据题目的要求，对自己作出的判断进行严谨的计算或推理说明.下面就结合例题讲讲这类问题的解题方法.

一、统计型判断说理题

统计型判断说理题不但考查概念的理解，还考查读图的能力.利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断，从而正确地解决问题.

例1 九年级（1）班开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，并根据学生做家务的时间来评价他们在活动中的表现.老师调查了全班50名学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组：A：0.5≤x＜1；B：1≤x＜1.5；C：1.5≤x＜2；D：2≤x＜2.5；E：2.5≤x＜3.

制作成两幅不完整的统计图（如图）：

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）这次活动中学生做家务时间的中位数所在的组是______；

（2）补全频数分布直方图；

（3）该班的小明同学这一周做家务2小时，他认为自己做家务的时间比班里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗？请用适当的统计知识说明理由.

解：（1）C组的人数是：50×40%=20（人），

B组的人数是：50-3-20-10-2=15（人），

把这组数据按从小到大的顺序排列，由于共有50个数，第25、26个数都落在1.5≤x＜2范围内，则中位数落在C组.故答案为：C.

（2）根据（1）得出的数据补图即可.

（3）符合实际.设中位数为m，根据题意，m的取值范围是：1.5≤m＜2，

∵小明做家务的时间大于中位数，

∴他做家务的时间比班级中一半以上的同学多.

二、概率型判断说理题

概率型判断说理题主要是对游戏公平性的判断.判断游戏是否公平就是要计算每个事件发生的概率，概率相等就公平，否则就不公平.

例2 如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等.

（1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为______；

（2）小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由.

解：（1）根据题意得：随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为.故答案为：.

（2）不公平.列表得：

所有等可能的情况有9种，其中两数之积为偶数的情况有5种，积为奇数的情况有4种，

三、函数型判断说理题

函数型判断说理题主要是决策性问题，一般需要运用分类讨论的数学思想，结合函数、方程、不等式的知识来解决.

例3 甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠.假设顾客预计累计购物x元（x＞300），那么顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由.

解：设在甲超市购物所付的费用为y1元，

在乙超市购物所付的费用为y2元.

y1=300+0.8（x-300）=0.8x+60，

y2=200+0.85（x-200）=0.85x+30.

①当y1=y2时，即0.8x+60=0.85x+30，解得x=600，即当顾客购物600元时，到两家超市购物所付费用相同；

②当y1＞y2时，即0.8x+60＞0.85x+30，解得x＜600，而x＞300，∴300＜x＜600，即顾客购物超过300元且不满600元时，到乙超市购物更优惠；

③当y1＜y2时，即0.8x+60＜0.85x+30，解得x＞600，即当顾客购物超过600元时，到甲超市购物更优惠.

四、几何型判断说理题

几何型判断说理题综合性较强，不但要求同学们会判断图形的数量关系或位置关系，还要求大家有一定的作图能力和分析问题的能力.

例4 如图1所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC=17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60°时，测得楼房在地面上的影长AE=10米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳.（ 3取1.73）

（1）求楼房的高度约为多少米？

（2）过了一会儿，当α=45°时，问小猫还能否晒到太阳？请说明理由.

图1

解：（1）当α=60°时，在Rt△ABE中，

答：楼房的高度约为17.3米.

（2）当α=45°时，小猫仍可以晒到太阳.

如图2所示，假设没有台阶，当α=45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H.

图2

此时的影长AF=AB=17.3（米），

∴CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1（米），

∴CH=CF=0.1（米），

∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，

∴小猫仍可以晒到太阳.

为了更好地解决判断说理题，希望同学们能勇于对数学问题进行猜想，敢于求证自己的猜想，努力锻炼自己的数学思维，能够创新愉快地学习数学.

（作者单位：江苏省常州市金坛区洮西中学）