以形助数 化难为易

王国俊

以形助数 化难为易

王国俊

数形结合思想是非常重要的数学思想方法，在初中数学中大量存在，借助数形结合的思想，特别是以形助数，往往能够化难为易，豁然开朗.

1.利用线段图找数量关系

例1 强强的舅舅来看他，强强问舅舅多少岁了，舅舅说：“我像你这么大时，你才4岁；你到我这么大时，我就37岁了.”问强强和舅舅现在各多少岁？

【分析】若A点表示强强现在的年龄，B点表示舅舅现在的年龄，设他们年龄相差x岁，如图1.

图1

由“我像你这么大时，你才4岁”可知，当舅舅的年龄在A点位置时，强强的年龄位置如图2所示，且AB=A′B′，因为强强和舅舅的年龄差不变．此时点A′表示强强的年龄为4岁．

图2

由“你到我这么大时，我就37岁了”可知，当强强的年龄在B点位置时，舅舅的年龄位置如图3所示，同理AB=A″B″，此时点B″表示舅舅的年龄为37岁．

图3

由题意可得方程4+3x=37，解之得x=11，故强强的年龄为15岁，舅舅的年龄为26岁.

2.构造符合题意的几何图形解题

【分析】如图4，若大正方形的面积为1，首先构造大正方形面积的一半，得到面积为，

图4

例3 请根据下图计算：1+3+5+7+…+ 99=______.

图5

图6

图7

图8

【分析】结合图形，图6比图5多3个小正方形，因此图6可以看成1+3=22，

依此类推，图7可以看成1+3+5=32，

图8可以看成1+3+5+7=42，

……

故1+3+5+7+…+99=502.

例4 如图9所示，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.

（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；

（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？

图9

（2）当点C运动到点A、C、E在同一条直线上时，AC+CE的值最小，图10中点C′的位置.

图10

图11

3.借助图像解决函数问题

例5 若点A（x1，1）、B（x2，2）、C（x3，－3）在双曲线y=-上，则（ ）.

A.x1＞x2＞x3B.x1＞x3＞x2

C.x3＞x2＞x1D.x3＞x1＞x2

图12

【分析】本题可以代入求值比较大小，亦可构建该函数的图像，分别画出y=1，2，-3的点的位置，根据图像可以直观看出x1，x2，x3的大小，结果为x3＞x2＞x1.

例6 用min｛a，b，c｝表示a，b，c三个数中的最小值，若y=min｛x2，x+2，10-x｝（x≥0），则y的最大值为 .

【分析】分别画出函数的图像，如图13，分别求出当x≥0的交点坐标，观察图像可知，当0≤x≤2时，y=x2；当2≤x≤4时，y=x+2；当x＞4时，y=10-x.

图13

因此满足条件的图形如下图14所示，

则当x=4时y的最大值为6.

图14

（作者单位：江苏省常州市金坛区直溪初级中学）