以“将军饮马”之例妙解“最短距离和”

高 萍

以“将军饮马”之例妙解“最短距离和”

高 萍

亲爱的同学，你知道“将军饮马”的问题吗？据说一位古罗马将军遇到一个百思不得其解的问题：如图1，将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？聪明的你，一定能轻松地解决这个问题——如图2，作点A关于河岸的对称点A′，连接A′B，交河岸所在直线于点P，则将军沿着AP+PB的路线走是最短的.

图1

图2

但是，你知道为什么要这样做吗？作点A的对称点A′，依据对称的性质可知AP=A′P，要使得AP+PB最短，只要A′P+PB最短就可以了.而当A′P和PB在同一条直线上时，A′P+PB的和是最短的——因为两点之间线段最短.

请注意，在解决这个古老的经典问题——“求最短距离和”时，最关键的思想是把其中的一条线段AP转化为A′P，使得求和的两条线段AP和PB在转化后有可能在同一直线上，当它们在同一直线上时，距离和就最短.最有用的经验是，作了定点关于动点所在直线的对称点，使得转化得以实现.

好了，数学的魅力马上就要展现！请耐心向下看：

例1 如图3，在正方形ABCD中，AE平分∠DAC，P、Q分别是AD、AE上的动点，则P、Q位于何处时，PQ+QD最短？若正方形的边长为5，求PQ+QD的最短距离和.

图3

【分析】要使PQ+QD最短，可转化其中的某一条线段，使转化后的两条线段有可能在同一条直线上.P、Q两点均为动点，故转化DQ.如图4，作定点D关于动点Q所在直线的对称点D′，依据角平分线的性质可知，D′点落在线段AC上，且D′Q=DQ.此时只需D′Q+PQ最短即可.因为P也是线段AD上的动点，D′Q和PQ在同一直线上有无数种可能，其中D′Q和PQ在同一直线上且与AD垂直时其距离和最短（如图5）.

图4

图5

【答案】P、Q位置如图5时，PQ+QD最短，最短距离和为

怎样？虽然出现了两个动点，是不是感觉和“将军饮马”的问题如出一辙？

例2 如图6，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°.在BC、CD上分别找一点M、N，使△MNA周长最小.

图6

图7

【分析】△MNA周长最小，即AM+MN+AN和最小，可考虑转化其中两条线段，使转化后的三条线段有可能在同一条直线上.M、N均为动点，故转化AM、AN比较合适.分别作定点A关于动点M、N所在直线BC和CD的对称点A1和A2，此时AM+MN+AN转化为A1M+MN+A2N，当这三条线段在同一直线上时，其和最短.

【答案】如图7所示.

如何？虽然是三条线段的最短距离和，相信一定没难住善于思考的你吧.让我们把难度等级再提高一级试试吧！

例3 如图8，已知点A（3，4），B（-1，1），在x轴上有两点E、F，且EF=1，线段EF在x轴上平移，移至何处时四边形ABEF周长最短？

图8

图9

【分析】因为线段AB和线段EF为定长线段，所以要使四边形ABEF周长最短，其实就是要使BE+AF最短.我们若依据前面的经验，作某点的对称点转化其中一条线段，会发现转化后两线段间夹着一段EF，无法使它们在同一直线上.怎么办呢？如果没有EF这一段就好了.能不能利用图形的变换挤去EF呢？

如图9，我们可以把线段BE向右平移一个单位，使E、F两点重合，得线段B1F，此时问题转化为使B1F+AF最短.现在是不是又回到“将军饮马”的问题了？

【答案】如图10，作B1关于x轴的对称点B2，B2A与x轴的交点F′即为所求F的位置，左移一个单位即为所求E点的位置.

图10

看了这些问题，是不是感觉到了数学的神奇与魅力？什么叫万变不离其宗，什么叫九九归一，你一定有更深的理解了吧！在以上几例中，通过作图形的平移和对称变换，转化了线段的位置，使复杂的问题都化归于“将军饮马”这样的简单模型.不过，平移和对称变化只是我们实现转化的途径之一，还有全等变换以及由图形特点所带来的相等线段也可实现线段的转化.也就是说，转化线段使得多条线段有可能在同一条直线上，才是解决“求最短距离和”问题的精髓.

你领会其中的精髓了吗？来检测一下吧！

考考你：如图11，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.

（1）求证：△AMB≌△ENB；

（2）当M位于何处时，AM+BM+CM的和最小？

图11

江苏省常州市金坛区第三中学）

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