慢教学，慢思考，大收获——记一节习题课教学

筅贵州省息烽县第一中学王守康

慢教学，慢思考，大收获
——记一节习题课教学

筅贵州省息烽县第一中学王守康

现在的数学教学，很多同学或老师追求课堂的容量，然而，将节奏放慢，引导学生从多角度对典型题目隐含的信息进行审视和深层次挖掘，体会解题所用知识、方法、数学思想及知识与方法的联系，反思解题过程中的障碍以及解决该题的关键，对学生形成挖掘题目信息的习惯，寻找解题规律有重要意义，会让同学和老师有意想不到的收获.下面笔者以最近课堂的一节上课实录，谈谈想法.

题目已知函数f（x）=ax2+xlnx.若a=-e，证明：方程2（fx） -3x=2lnx无解.

（学生充分思考，动笔去解，老师巡视……）

教师：谁来谈谈看法？

学生1（证法1）：我先想到的是“想办法把绝对值去掉”.

因为a=-e，

原方程可化为2|ex2-xlnx|=3x+2lnx（x>0）.

令h（x）=ex-lnx，

min

所以h（x）=ex-lnx>0.

又x>0，

所以ex2-xlnx>0.

因此原方程可化为2（ex2-xlnx）=3x+2lnx（x>0）.①

进一步化为2ex2-2（x+1）lnx-3x=0（x>0）.②

令g（x）=2ex2-2（x+1）lnx-3x，

接下来我就不知咋办了？

教师：为了研究问题的方便，想到去掉绝对值，很好！而且想到因为x>0，所以只需判断h（x）=ex-lnx的符号，通过求导，求出=1+1>0，从而判断了符号，达到去掉绝对值的目的更是聪明！在对①式进行转化时，把非零项都放在了方程一边，也是很自然的思路.问题就在于我们无法求出g′（x）的零点，观察法也不行，从而无法求g（x）最值，很遗憾，此路不通！

课堂一片寂静！

（数秒后）学生2：我们没有必要求出零点，我们只要由零点存在性定理判断g′（x）有变号零点就可以了.设出隐零点x0（设而不求），然后利用方程f′（x0）=0进行代换，从而求最值.

教师：你太厉害了！大家赶快试试，看看能否行得通？

课堂再次安静下来，个个争先恐后地动起笔来.

学生3：我判断出了有零点.

教师：很好.这个零点唯一吗？

所以g′（x）在（0，+∞）上为增函数.

教师：大家太厉害了！这样我们很容易判断x0是g（x）的极小值点，也是最小值点.那么目标能实现吗？

经过一会儿演算，我看到的是个个愁眉苦脸！

教师：谁来谈谈遇到了什么困惑？

000

而11-6e<0，因此无法判断g（x）min的符号.

教师：这下白忙了！有解决办法吗？

学生6：有.把隐零点x0的范围再缩小点.

这时课堂气氛显得异常热烈！

=5-e-2ln2>2-2ln2>0，

教师：这样能行了吗？

同学们又迫不及待地进行尝试……

学生8：我做出来了！

我看到他兴奋的样子，就立即让他说说看.

教师：经过大家努力终于大功告成，我们在此题的探究中遇到了太多挫折，同时得到太多意外收获，可喜可贺！也许这就是我们的数学人生！这样就得到g（x）>0，从而方程②（其实是g（x）=0）无解，即原方程无解.

正在总结时，数学课代表积极地举手要发言.

令h（x）=ex-lnx，

易知，当（0，e）时，φ′（x）>0，所以φ（x）在（0，e）上为增函数；

当（e，+∞）时，φ′（x）<0，所以φ（x）在（e，+∞）上为减函数.

因此，h（x）>φ（x）（x>0）.

故方程④无解，即原方程无解.

教师：太神奇了！只是做了简单的变形，然后用最值法，证法大大简化，方程①还有其他的变形方式吗？能行得通吗？

结果这一做法起了抛砖引玉的作用，课堂气氛更加活跃，接下来又有同学给出了两种不同证法.

学生10（证法3）：方程①可化为2ex2-2xlnx-3x-2lnx= 0（x>0）.⑤

由证法2知，h（x）=ex-lnx≥2.

因此，对于方程⑤，

左边=2x（ex-lnx）-3x-2lnx≥4x-3x-2lnx=x-2lnx.

令F（x）=x-2lnx（x>0），

易知，F（x）min=F（2）=2-2ln2>0.

因此，方程⑤左边>0，所以方程⑤无解.

故原方程无解.

学生11（证法4）：我是利用常用不等式lnx≤x-1（x=1时取等号）进行放缩的.

因为lnx≤x-1，

所以-2（x+1）lnx≥-2（x2-1）（x>0）.

方程①可化为2ex2-3x-2（x+1）lnx=0（x>0）.⑥

对于方程，⑥左边≥2ex2-3x-2（x2-1）=2（e-1）x2-3x+ 2.

令m（x）=2（e-1）x2-3x+2，

则Δ=9-16（e-1）<0.

故m（x）>0恒成立.

因此方程⑥左边>0，所以方程⑥无解.

故原方程无解.

教师：你们太聪明了！多好的放缩法！放缩法在证明不等式中经常有神奇表现，大家以后可多多尝试！它很具挑战性，特别是要放缩有度，有时要调整这个“度”！

此时下课铃声响起！

我看到了学生脸上的表情：惊叹之余，有些不舍和遗憾！

高中数学教学其实就是解题过程的教学，解题就是把待解决或未解决的问题，化归为一类已经解决或者比较容易解决的问题，特别对于高考试题就是将高考试题化归为课堂上已经解决的问题，或化归为往年的高考题或其变形，而理解题意是解题过程的第一环节，也是核心环节.若草草抛给学生答案，学生收获甚微，只有让课堂教学慢下来，从题目本身获取“怎样解这道题”的逻辑起点、推理目标、及沟通起点与目标之间联系的更多信息，才能不断培养学生分析问题、解决问题的能力.在平时的教学中，我们教师要充分相信学生，教学中要多给一点学生自由思考的时间，教师不能只按照自己事先想好的思路来教学，否则就会限制学生的思维，强扭学生的思维，题目刚出来就先进行提示或分析，那样做会扼杀学生的自主思维能力，剥夺学生的自由创造空间.在学生还没来得及思考的时候，老师硬是用自己固定的思路框定他们的头脑，使他们服从于已有的模式，这对他们思维能力的形成是个不小的打击.