立体几何向量法的教学与思考——以2015年北京高考题为例

筅江苏省扬中高级中学林云

立体几何向量法的教学与思考
——以2015年北京高考题为例

筅江苏省扬中高级中学林云

立体几何对学生的空间想象力要求较高，向量法的最大方便之处是可以将空间问题转化为向量计算，使学生摆脱空间点、线、面关系的干扰，通过直接对向量计算达到解题的目的.向量法使用的同时也应该发展多方法、多思维教学，提高学生的综合能力.

一、试题呈现

试题如图1所示，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA=2，F、G、H分别为PB、EB、PC的中点.

（1）求证：FG∥平面PED.

（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小.

（3）在线段PC上是否存在一点M，使得直线FM与直线PA所成的角为60°？如果存在，求出线段PM的长；如果不存在，请说明理由.

图1

二、解法探究及点评

1.解法探究

（1）证明：因为点F、G分别为线段PB、EB的中点，所以有FG∥PE.又因为PG埭平面PED，PE奂平面PED，所以可证FG∥平面PED.

（2）因为EA⊥平面ABCD，EA∥PD，所以有PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥CD.

又因为四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD.

可采用空间向量法，如图2，建立空间直角坐标系，因为有AD=PD=2EA=2，所以有D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1）.

图2

因为F、G、H分别为PB、 EB、PC的中点，所以F（1，1， 1），G奂2，1，奂，H（0，1，1），所以

设n1=（x1，y1，z1）是平面FGH的法向量，

设n2=（x2，y2，z2）是平面PBC的法向量，则有

（3）假设线段PC上存在一点M，使得直线FM与直线PA所成的角为60°.

2.试题点评

本题是高考常见的立体几何题型，考查线面平行的判定以及二面角的求解，采用向量法解此类题会相对简便.解决的关键是正确建立坐标系，准确计算点线的坐标，可通过引入平面法向量来求二面角.立体几何对学生的空间想象以及逻辑推理能力要求较高，采用空间向量法可以降低难度.

图3

图4

三、试题扩展与延伸

高考立体几何中常考的知识有证明垂直和平行、计算距离和二面角以及动点问题.下面我们对几道同类型的题目进行拓展赏析.

试题1（2015年高考天津卷）如图3所示，在四棱锥PABCD中，它的底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，现作EF⊥PB于F.

（1）证明PA∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C-PB-D的大小.

试题2（2015年高考山东卷）如图4所示，正方形AMDE的边长为2，B为AM的中点，C为MD的中点，在五棱锥P-ABCDE中，点F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD、PC分别交于点G、H.

（1）证明：AB∥FG；

（2）如果PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.

上述两题均为高考的立体几何题型，考查位置关系的证明以及二面角或线面角的问题.证明平行或垂直仅需根据定律即可简单证明；对于角度问题，则可以使用空间向量法，列方程进行求解，计算量虽大但思路更为清晰.求解立体几何需要学生推理要严谨，表达准确，数形结合剖析，准确作图则可以使考生在答题过程中获得进一步的启示，是解题的关键点.

四、教学思考与建议

1.联系生活，建立模型

有时在求解立体几何时会发现许多题目与生活中的立体有关系，很多学生空间感不强，对几何性质了解不足，不能直观的抽象出几何的空间关系，甚至对几何的认知还停留在初中水平，求解立体几何有很大的困难，此时则需要老师引导学生建立几何模型，通过对模型的直观分析加深空间立体感.在教学中，数学是不能与生活相脱离的，数学本身就来源于生活，对实际物体的观察则有助于认知的提升，一方面老师要带领大家从生活中认识立体几何，亲身去感受几何的存在，另一方面，则要让学生去亲自动手折纸，通过对模型的亲自度量、分析来获得空间感.多角度、多层次的观察，将立体几何转化为平面问题，对几何模型的接触、分析、拓展就可以提高学生解决立体几何的能力.

2.透析真题，高效教学

高考真题有着很深的数学背景，知识点交汇、立题新颖、解法多样，是中学教学的宝贵资源.为提高教学质量，老师要针对性、综合性的多角度进行选题，并详尽为学生解析，在教授过程中要以学生为主体，充分的相信学生，把主动权交换给学生，多与学生进行交流，引导学生评析、反思，反思要涉及知识的背景、知识的方法、解题的多维角度.注意讲解不就题论题，要从问题的特殊性到一般，联合知识点，举一反三，以点带面深入教材，这样才可以很好的利用真题的价值，研读高考题也可以激发学生的兴趣，为拓展学生的思维具有极大的帮助.

3.学习向量，拓宽思路

立体几何的向量法有着几何和代数的双重性，是研究立体几何的有力手段，它将立体几何的空间问题转换为简单的向量问题，降低了解题的难度.在计算过程中，要注意精确定位，准确计算.老师在教授向量法时要注意选题，建立直角坐标系解决平行、垂直、距离问题要紧密围绕空间坐标系，加强向量基本定理的教学，明白向量的含义，特别需要注意法向量的定义及意义，使学生理解法向量，灵活的使用它来求解较为复杂的问题.同时对于教授立体几何不应该局限于向量法，多方法、多角度、深层次的学习对于学生的空间想象力的培养更为有利，中学的学习不在于单纯的解题，锻炼学生的逻辑思维、分析推理才是最主要的.

五、总结

立体几何是高考的考查重点内容，涵盖的知识点多、覆盖面广、综合性强，对学生的空间想象力以及逻辑推理能力要求较高.向量法是求解立体几何问题的一种较为简单的方法，可以将空间为题转换为平面向量的计算，对解题具有极大帮助，但同时老师也需要拓宽思路，多角度的讲授，促进学生的全面发展.

1.张浩.高三数学立体几何的复习建议和思考［J］.中学数学（上），2016（8）.

2.蓝云波.对2015年湖北高考立体几何试题的探究［J］.中学数学（上），2015（11）.

3.吉俊杰.“空间运动”与“圆锥”的“不解之缘”——由2016年浙江高考谈“动态”立体几何教学建议［J］.中学数学（上），2016（11）.

4.周芳芳.提质重在反思，高效重在追求——基于苏教版立体几何部分教学案例的比较与思考［J］.数学教学通讯，2016（21）.

5.胡浩，马林.新课标全国卷立体几何考题分析及2016备考建议［J］.数学教学通讯，2016（18）.