反思解题过程提升思维能力

筅江苏省盐城中学刘海滨

反思解题过程提升思维能力

筅江苏省盐城中学刘海滨

荷兰数学教育家弗赖登塔尔指出：“反思是重要的思维活动，它是思维活动的核心和动力.”在习题教学中，教师要认真看待学生的错误，把学生的错误当成一种宝贵的教学资源，通过习题的教学设计，引导学生反思解题出错的原因，通过探究纠错的方法，拓展解题的思路，最大限度地调动学生探究学习的热情，驱动学生积极思考，使学生的数学能力思维水平得以更大的提升.笔者先将2014年江苏高考压轴题进行分解，让读者理解解题方法，然后对分解后的每一部分给出相应的变式题，以便学生熟练掌握该类型试题的解法.

题目：已知函数f（x）=ex+e-x，其中e是自然对数的底数.

（1）证明：f（x）是R上的偶函数；

（2）若关于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；

（3）已知正数a满足：存在x0∈［1，+∞），使得f（x0）

反思一：第一小题为基础题，难度最低，基础较差的考生不要放弃，相信自己能解答好本小题.

（1）分析：利用偶函数的定义进行判断.只要证明f（x）满足f（-x）=f（x）即可.（证明过程略）

本小题这样考查了偶函数的定义，属于容易题，命题者命制此小题是为了提高基础较差的考生考试的信心，体现命题者的人文关怀.此外本小题易错点是没有考虑函数定义域关于原点对称，定义域关于原点对称是讨论奇偶性的必要条件.

反思二：第二小题为基础中等的考生命制，难度增加，基础中等的考生通过努力思考，也能顺利解答本题.

（2）分析：要使mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，即m（ex+e-x-1）≤e-x-1在（0，+∞）上恒成立，分离参数得

只需满足m≤g（x）恒成立，要使m≤g（x）恒成立，只需m≤g（x）min，这样将原问题转化求函数g（x）的最小值.

解法1：要使mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立成立，即m（ex+e-x）≤e-x-1在（0，+∞）上恒成立，分离参数得

只要满足m≤g（x）恒成立，要使m≤g（x）恒成立，只需m≤g（x）min.

由于关于ex的式子比较复杂，可令t=ex，由于x∈（0，+∞），则t>1.

本小题考查分离参数法与等价转化的思想，即将恒成立问题转化求函数的最小值的问题.本题易错点是作代换t=ex后，没有考虑t的范围是t>1.本试题思维受阻的地方是考生不会将，从而求不最大值.因此为了避免出现错误，作代换后首先要考虑代换后字母的范围.

解法2：考虑不等式两边同时乘以ex，则不等式转化为m［（ex）2+1］≤1+（m-1）ex在（0，+∞）上恒成立.

令ex=t（t>1），则问题可简化为：mt2+（1-m）t+m-1≤0在t∈（1，+∞）上恒成立.

构造函数g（t）=mt2+（1-m）t+m-1，由图像易知，当m≥0时，不符合题意.

解法2就是将所求的问题转化为二次函数在特定区间恒小于零的问题，考查了数形结合的思想.

反思3：破解第（3）小题，将其分解成两个子问题，然后各个击破，将压轴题转化常见的问题，使压轴题不再可怕.本小题是为优秀的考生命制，难度大，可将本小题分解为两个小问题：①即先求出参数a的范围，②根据参数a的范围比较ea-1与ae-1的大小.

采取以退为进的思想，先分析子问题①.

分析1：命题者设置“已知正数a满足：存在x0∈［1，+∞），使得（fx0）

解法1：因为f′（x0）=ex0-e-x0，由于x0∈［1，+∞），所以f（′x0）=ex0-e-x0 >0，故（fx0）在［1，+∞）上单调递增，故（fx0）在x0∈［1，+∞）上的最小值（fx0）min=（f1）=e+e-1.

又h′（x0）=a（-3+3），由于x0∈［1，+∞），且a是正数，所以h′（x0）<0，故h（x0）在［1，+∞）上单调递减，故函数h（x0）在x0∈［1，+∞）上的最大值h（1）=2a.

要存在x0∈［1，+∞），使得（fx0）

考生思维受阻的原因是考生不会将存在性问题等价转化求（fx0）在x0∈［1，+∞）上的最小值（fx0）与函数h（x0）=a（-+3x0）在x0∈［1，+∞）上的最大值h（x0）.

解决对策：设函数（fx）的值域是F，h（x）的值域是H，根据题意作出相应的图形（如图1），图形上可以看出要满足“存在x0∈［1，+∞），使得（fx0）

图1

分析二：根据“埚x使得f（x）0”，要存在x0∈［1，+∞），使得（fx0）-a（-+3x0）>0恒成立.

解法2：令函数g（x）=ex+e-x-a（-x3+3x），

因此g（x）在［1，+∞）上的最小值是g（1）＝e+e-1-2a.

由于存在x0∈［1，+∞），使ex0+e-x0 -a（-+3x0）<0成立，当且仅当最小值g（1）<0，故e+e-1-2a<0，即a

0

再分析子问题②.

当a=e时，ea-1=ae-1；

本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查了分类讨论、等价转化、构造函数模型的思想.同时也考查了综合运用数学思想和解决问题的能力.高考题总会露出一些“蛛丝马迹”.给考生以适当的提示，让考生找到解决问题的“突破口”，从而便让优秀的考生顺利地解决好难题，提高试题的区分度，有利于高校选拔人才.本题就暗示了“e=2.71828…为自然对数的底数”，以便让优秀的考生找出解决问题的突破口，即对“两个指数式取对数”.

通过此题解题过程的反思，我们知道，回归课本，回归教材是最有效的做法.教材是一种重要的课程资源，对教材的理解与钻研、开发和利用是用好教材的前提.只有重视课本习题，挖掘习题的辐射功能，才能使学生的认识得到升华，学生的知识面得到拓宽，学生的观察能力、归纳能力和类比思想便会得到锻炼.教师要认真研究课本习题，才能充分发挥课本习题的导向功能，才能让习题教学变得丰富和深刻.在习题教学中，教师不但要向学生传递数学的思想和方法，而且更应该捕捉学生的“错误”，将学生的认知误区，转化为学生的最近发展区，引导学生反思，为学生提供自主、合作、探究的机会.这样不仅可以调动学生的学习积极性，还可以帮助学生加深对概念理解和解题思想方法的认识.在解题中只有养成重视条件、严格推理的习惯，才能重建认知结构，达到举一反三的效果.在教师的正确引导下，发挥学生的主观能动性，通过反思过程中培养学生的发散性思维、逆向性思维和辩证思维.可见只有正视学生的错误，认真分析产生出错的原因与机制，才能将错误纠正到底，真正起到优化课堂的教学效果.