一类圆锥曲线定点问题的多视角探究

筅浙江省诸暨市海亮高级中学沈铁表

一类圆锥曲线定点问题的多视角探究

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同一类型的问题，其解法往往有其规律性，要想减轻课业负担，从题海中解脱出来，必须学会在解题后对问题的求解方法、常见变式进行探究，并发现归纳知识间的内在联系，挖掘出数学思想与方法，总结概括出解题的基本规律.这样，既有利于对问题的认识上升到一个更高层次，又有利于概括思维能力的训练和培养.

例1在平面直角坐标系xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x=-1的距离相等.

（1）求动点E的轨迹C的方程；

（2）设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=-1相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过点M（1，0）.

解析：（1）y2=4x.（过程略）

设切点P（x0，y0），

故以PQ为直径的圆恒过定点（1，0）.

点评：以PQ为直径的圆恒过定点M，则有MP⊥MQ，从而可利用向量数量积为0或斜率之积为-1来求解.

下面从多个视角对此类定值问题进行探究.

一、改变求解结论

例2在平面直角坐标系xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x=-1的距离相等.

（1）求动点E的轨迹C的方程；

（2）设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=-1相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点.

解析：（1）y2=4x.（过程略）

（2）联立消去x得ky2-4y+4b=0，因为直线l与抛物线相切，所以Δ=16-16kb=0，即b=，所以直线l的方程为y=kx+.

点评：本题将所求结论改为定点的探索型问题，求解的关键是找出满足条件的参数关系式，即可判定所过的定点.

二、改变求解策略

例3同例2.

解析：（1）y2=4x.（过程略）

设切点P（x0，y0），则

令k=1，则P（1，2），Q（-1，0），PQ中点为（0，1），|PQ|=，所以以PQ为直径的圆的方程为x2+（y-1）2=2.令y=0，得x=1，所以圆与x轴的交点为M（1，0）.下面证明M（1，0）即为所求的定点.

故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点（1，0）.

点评：本解法通过取k的特殊值，将圆的方程特殊化，从而得出该圆与x轴的交点，再通过证明该点即为所求的定点.这种从特例入手，验证一般的处理方法，既能快速明确目标，又减少了大量的繁杂计算.

三、改变曲线类型

（1）求椭圆E的方程；

（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q.试探究：x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由.

因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），所以m≠0且Δ=0，即64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，化简得4k2-m2+3=0.①

设M（x1，0），则对满足①式的m，k恒成立.

由于②式对满足①式的m，k恒成立，即与m，k的取值无关，故整理成（4x1-4）

故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过定点M.

若满足条件的点存在，则定点为M（1，0）

下面只需验证点（1，0）是否符合题目条件即可.

故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M.

点评：圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，三者具有统一的定义，因此对于某一曲线所具有的性质，可类比迁移到其他曲线，通过对问题的探究，可以有效提高学生分析、处理问题的能力.

综上，圆锥曲线中的定点问题看似没有规律和联系，事实上只要我们作深入思考，就不难发现其中的奥秘和内在的规律.只要掌握这些规律和联系，解决这类问题就显得很简单了.通过对这类问题的探究，不仅学会了一类知识，还会大大提高学生的解题能力.F