潜移默化悟模型 明辨化归求最值*

●李海儿 (蛟川书院 浙江宁波 315200)



潜移默化悟模型 明辨化归求最值*

●李海儿 (蛟川书院 浙江宁波 315200)

文章以如何探究动点的运动路径为出发点，通过从特殊到一般的数学思想方法构造“线段角模型”，从而更好地帮助学生探究动点的运动路径，明确求解“线段的最值问题”的方向，有效节省时间.

动点；路径；最值；四点共圆

0 引言

涉及动点的几何最值问题是近几年中考的热点之一.这类问题综合性强、难度大，能全面考查学生对平面几何问题的解决能力，各省、市中考时常将其作为压轴题.解决这类问题最常用的一种方法是：首先寻找动点的运动路径，其次借助“两点间线段最短”“垂线段最短”等知识来求最值.但对学生来说，在几何法中“如何确定一个动点的运动路径”往往是一个难点.在教学过程中常呈现出一系列的问题,如：如何寻找这类问题的突破口？如何巧妙地构造一个通用的模型进行求解？如何将模型与问题相结合来寻找动点的运动路径？如何根据动点的运动路径来求最值？在模型的构造和应用过程中如何渗透相应的数学思想？

基于对上述问题的探索与思考，笔者选择了“1个定点、2个动点”的相关问题进行深入研究，在此基础上设计了这节解题教学探究课，并且在第43届浙江省宁波市“三江名师初中数学经典优质课教学艺术展示”活动中进行了展示.本节探究课主要以学生为主体，教师引导学生从动中找静、静中找动、动静结合，从特殊到一般去归纳总结，从而完成“悟模型”；建立模型之后要学会“用模型”，并且感受模型的巧妙之处；同时还要学会“拓展模型”，以此来提高学生的数学思维和探究能力.

1 问题呈现

教学是一个由简到难、由特殊到一般的循序渐进过程，为了让学生能够顺利地投入到学习过程，笔者首先选取“2个动点与1个定点之间的距离相等，且2条线段构成的夹角为直角”这一特殊情况进行引入.

引例 如图1，已知点A(0,5)，点B是x轴上的一点，过点A作CA⊥AB，且CA=AB．若点B沿着x轴所在的直线运动，点C也随之运动，则线段OC的最小值为______．

图1

教师让学生认真观察定点A、动点B,C以及它们之间的连线AB,AC，并自主思考，片刻之后给出问题1～5.

问题1 要探究哪个动点的运动路径?

(学生都知道是点C.)

为了体现学生是学习的主体，笔者在实践教学中让学生以4人一小组进行讨论，并尝试以画图的方式进行观察和探究，猜想“当点B沿着x轴所在的直线运动时”点C的运动路径.通过观察图形，学生大都猜测该运动路径是一条直线，但不能用严格的数学语言给出证明.为了克服这一难点，笔者给学生设置一系列问题，以问题串的形式循序渐进，让学生从动中找静、静中找动，从而确定点C的运动路径.

问题2 (动中找静)在点B的运动过程中，图形中有哪些量不变？

该问题看似简单，实则非常有效，不仅能让学生再一次厘清题意，而且让学生学会从动中找静——找出在动点的运动过程中存在的不变量，从而以不变量为出发点去寻找解决问题的突破口.

生1：AB=AC，∠BAC=90°，OA=5.

虽然点C随着点B的运动而运动，但是点B,C与定点A之间的连线AB，AC垂直且相等，即学生找到的不变量AB=AC和∠BAC=90°.为了降低问题的难度，笔者以这2个不变量为基础，结合旋转变换，引导学生去观察另外一个不变量OA=5.

问题3 (静中找动)AC(点C)可以看成是将线段AB(点B)绕着点A逆时针旋转90°得到，那么将不变量AO作相同的旋转变换，能否得出一些等量关系？

(学生以小组为单位画图讨论.)

图2

生2：如图2，将不变量AO(定点O)绕着点A逆时针旋转90°得到线段AE(定点E)，联结CE，可得△ABO≌△ACE，进而得到∠CEA=∠BOA=90°.

通过动中找静、静中找动的行为过程，让学生完全投入到学习探究过程，激发起他们对新知识的渴望和兴趣.为了引导学生寻找点C的运动路径，教师让学生仔细观察旋转AO之后新得到的定点E和不变量∠CEA的特点，并引出如下问题：

问题4 能否证明点C的运动路径是一条直线？

生3：因为点A和点E都是固定的点，又∠CEA=90°为定值，所以点C一定落在过点E且垂直于线段AE的直线上，从而可得点C的运动路径是一条直线，即过点E且垂直于线段AE的直线为点C的运动路径.

(教师给予表扬并再次给学生解释.)

问题5 确定点C的运动路径是一条直线后，你能否求出线段OC的最小值？

生(众)：可以利用垂线段最短求解.当OC垂直于点C的运动路径时取到最小值，即OC的最小值为5.

教学实践表明:在学生认知的困惑点和思维障碍处设置一系列问题，以问题串的形式循序渐进，让学生在教师的引导下从动中找静、静中找动，从而确定动点的运动路径是一种非常有效的教学手段.这样的教学让师生的思维在问题引导下层层深入、深刻而持久，不仅能够让学生全身心投入到问题的探究过程中，变被动学习为主动学习，而且让学生体验破解难题的成就感和获得新知的愉悦感，为接下来的模型探究奠定坚实的基础.

2 探索发现

通过探究式学习，引例虽然得到了解决，但是能否将其一般化呢？能否构造出一个通用的模型来覆盖这类问题？让学生真正做到“做一题、会一类”，不仅能有效提高学习效率，而且还可以提高发散性思维.为了顺利过渡，并抽象出通用的模型，笔者仍然采用了以问题为导向的小组合作式探究教学，让学生自己去发现、总结模型，而教师只是起引导作用，这更加有利于学生数学思维能力的训练.2.1 初露锋芒

从具体到一般的过程是一个质的飞跃，学生很难站在这样的高度和深度去看问题，如此教师的引导方式成了学生能否抽象、总结出通用模型的关键.笔者首先给学生重现解决引例的关键点：寻找动点C的运动路径，其次分析并总结在引例中寻找点C运动路径时只用到了条件“定点A，动点B，C，CA⊥AB，CA=AB”，并没有用到“直角坐标系或A(0,5)”这一条件，也就是说“直角坐标系”这一条件对寻找动点的运动路径并没有作用.因此,教师告知学生接下来的主要任务：在引例的基础上，探究寻找动点运动路径的一般几何方法和模型(没有直角坐标系)；最后，教师设置了“题目改编”任务，让学生带着任务去探究方法和模型.

题目改编 能否对引例中的条件进行简单改编，从而得到点C的运动路径是一条直线.

(学生进行小组讨论.)

生4：已知点A是定点，点B，C是动点，CA⊥AB且CA=AB，若点B在一条直线运动，则点C也在一条直线运动.

(这对学生的认知来说是一次质的飞跃，教师应给予充分的表扬.)

通过学生的自主探究和总结，模型虽然初露锋芒，但为了将其更加一般化，教师继续设问.

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生(众)：可以.

此时模型初步形成，但教师还应及时给学生分析解释模型的特点.笔者在教学实践中通过几何画板演示的方式帮助学生进一步直观感知动点的运动路径，这是对前面证明的进一步巩固和提升.同时，笔者认为∠BAC是一个定角，且2条边不是射线而是线段，因此形象地将这个模型命名为“线段角模型”.

图3

为了将模型更好地应用于问题求解，教师在初等模型的基础上继续设问.

问题7 假设模型中的直线m与n相交于点F，你能否判断出点A,B,C,F之间的关系？

生5：因为外角等于内对角，所以点B,A,C,F共圆.

教师在学生回答的基础上及时强调这4个点分别是线段角的3个顶点和直线m,n的交点.

2.2 乘胜追击

为了将模型更加一般化，教师在学生认知的基础上乘胜追击，继续设问.

问题8 如图4，能否将初等模型中的∠BAC=90°推广成一般情形，即当∠BAC=θ(其中0°<θ<180°)时，结论是否依然成立？

图4 图5

此时∠BAC不是一个特殊的角，而是一个一般的角θ(其中0°<θ<180°).根据引例奠定的坚实基础，教师引导学生从“动中找静、静中找动”，从而确定点C的运动路径.实践证明：学生很容易想到先做定点A到定直线m的距离AD(如图5)，并且发现AD始终是不变的；其次将线段AD绕着点A逆时针旋转θ后得到定点E，联结CE可得△ABD≌△ACE，进一步可知∠CEA=∠BDA=90°，从而可以确定点C的运动路径为过定点E且垂直于AE的直线n.此外，根据△ABD≌△ACE还可以得到∠ACE=∠ABD，若假设直线m与n的交点为点F,则可得点B，A，C，F共圆.

2.3 攻坚克难

通过乘胜追击，将初等模型中的角(∠BAC)一般化，为了得到更好的模型，教师继续设问，引导学生将线段(AB,AC)之间的关系一般化.

2.4 归纳提升

教师引导学生完成模型的探究之后，及时进行归纳提升，抽象出线段角模型.

1)若点B在一条直线m上运动，则点C也在一条直线n上运动.

2)若假设直线m与n的交点为点F,则点B,A,C,F共圆.

在感悟“线段角模型”的整个过程中，教师采用从“特殊到一般”的数学思想，引导学生通过观察和分析步步深入，自觉迁移到一般问题的研讨之中，从而提高学生的思维品质.通过从“动中找静、静中找动”的思维活动，不仅让学生学会将“动”的问题转化为“静”的问题，而且学会将“静”的问题转化为“动”的问题，实现“动静结合”，从而增强了学生的逻辑思维能力.

3 应用模型

通过探究建立了“线段角模型”之后，教师要适时点拨：“线段角模型”可以有效地帮助判断动点的运动路径是直线n，并且由前面的证明不难发现这条直线n肯定经过动点C，为了具体确定这条直线，只需要再找到一个特殊位置的点即可.但这个特殊位置的点不一定好找，得具体问题具体分析，从而引导学生进入模型的应用阶段.

例1 如图6，边长为6的等边△ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，联结EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，联结DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是______．

图6 图7

说明 在例1的讲解过程中发现大部分学生都能直接应用“线段角模型”的第1)个结论，即能判断到点F的运动路径是一条直线，但是寻找具体直线的过程并不熟练，很多学生只能找到点F.这时教师要进行适当引导，请学生继续从“静中找动”，即仔细观察“当点E沿着AD运动到点A时，点F运动到哪个点”，从而帮助学生顺利找到点F的运动路径.例题讲解完毕后，教师进行适当小结，重点强调完成本题的3个关键点：应用“线段角模型”的第1)个结论判断动点的运动路径；确定具体直线的过程和方法；应用“线段角模型”的第2)个结论求解角度问题，从而求出最值.

例2 如图8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，动点D在直线BC上运动，联结AD，以AD为斜边向右下方作等腰Rt△ADG.若点F在线段BC上，且CF=2，则线段FG的最小值是______．

图8 图9

说明 学生通过例1的求解已经积累了丰富的经验，在例2的求解过程中明显从容淡定.首先在图形中寻找“线段角模型”，其次确定直线并利用四点共圆求出角度，最后求得线段FG的最小值.通过这2个例题的求解，学生对“线段角模型”有了更深刻的认识，感受到了应用“线段角模型”求解几何中最值问题的巧妙之处.

图10

完成2个例题的探究之后，及时增加练习题用来巩固“线段角模型”及其结论，将纷繁复杂的运动变化过程进一步条理化、明朗化、清晰化，让不同的学生有不同程度的收获.

练习1 如图10，在直角坐标系xOy中，AO=6，∠ABO=120°,AB=BO,点C为x轴上一动点，在平面内作点D使AD=DC，∠ADC=120°，联结OD，则OD的最小值为______.

4 深入探究

一个基本问题得到解决之后，应该对其继续深入探究，尝试找到更一般的普遍规律，让学有余力的学生学会思考和深入探究，相信这才是课堂教学最为根本的目标.因此，笔者设置了相应的课后练习题供学生进一步探究，从而实现对模型的进一步拓展.

罗增儒老师认为：“数学学习中真正发生数学的地方都无一例外地充满着数学解题活动.”在数学家、数学教育家眼里，解题和解题教学有着举足轻重的地位，解题教学是中学数学课堂教学的重要组成部分，因此，笔者认为广大教师应该注重解题教学的艺术，从而收到事半功倍的效果.正是秉着这样的一种信念，笔者设计了这节解题教学探究课，主要是想通过本节课的学习，与学生分享笔者探究的一种几何模型——线段角模型，希望为学生寻找动点的运动路径指明方向，让学生感受到模型的巧妙之处，有效节约解题时间.本探究通过引例的证明抽象出“线段角模型”的初等模型，利用特殊到一般的数学思想方法证明了“线段角模型”的一般性结论，让学生经历“猜想—证明—应用—拓展”等数学活动，从而培养学生的问题探究能力和解决能力.

2017-02-27；

2017-03-28

李海儿(1984)，女，浙江舟山人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)06-45-04