积分学中各种积分之间的关系研究与例解

杨元启

摘 要：本文讨论了高等数学中几种类型的积分之间的联系与转化技巧， 并用适当例子说明这些转化技巧的具体应用。这对各类积分思想的理解和计算都有很重要的意义。

关键词：定积分；重积分；累次积分；线积分；面积分

高等数学中的积分学包含的积分类型很多， 积分计算也经常走入死胡同，无法求解。如果能深刻地领会不同积分之间的内在关系，掌握不同类型积分互相转化的技巧，一般都能顺利解答。各种积分之间的关系及转化技巧，在国内众多文献中能找到一些零星的讨论，但都不够细致深入。

本文着重对定积分、重积分、线积分、面积分这几个常见常用的积分，用实例来详细讨论积分转换技巧的应用。

一、定积分与重积分

重积分的计算问题除了用定义外，几乎都是化成两个或多个定积分（累次积分）来计算的。对一些较复杂的定积分，也可能无法求出其原函数，必须借助重积分的思想才能求解。以下通过几个例子来说明这些积分的转化技巧。

例1 计算?D dxdy，其中D 是直线x=π，y=x，y=0所围成的闭区域。

解：如果将二重积分化成如下累次積分：

?D dxdy=dydx

由被积函数的特点知这样的积分无法计算，为此交换积分次序：

?D dxdy=dxdy

=sinxdx=[-cosx]π

0

=2

例2 计算dx

解：用求原函数的方法几乎没法解答，注意到=xydy，为此，可以将定积分化成累次积分再来讨论。

原式=dxxydy，

交换积分次序得：

原式=dyxydx=dxxydy

=dx=ln（）

例3 设f（x），g（x）在[a，b]上连续，满足?x∈[a，b），f（t）dt?g（t）dt，以及f（x）dx=g（x）dx，证明：xf（x）dx?xg（x）dx

证：这样的题一般也需要借助累次积分以及换序技巧。

由题意，?x∈[a，b），f（t）dt-g（t）dt?0，

（f（t）-g（t））dt作为[a，b）上的非负连续函数，有：

（f（t）-g（t））dtdx?0，

交换积分次序，

dt（f（t）-g（t））dx

=b（f（t）-g（t））dt-（tf（t）-tg（t））dt

?0，

仍由题意有，tf（t）dt?tg（t）dt。

证毕。

二、线积分与重积分

两类曲线积分可相互转化，第二型曲线积分与重积分也可通过格林公式建立联系。具体地，有：

1）两类曲线积分的关系：

∫L Pdx+Qdy+Rdz

=∫L （P+Q+R）ds

=∫L （Pcosα+Qcosβ+Rcosγ）ds

（其中，（cosα，cosβ，cosγ）是曲线L上的点（x，y，z）处切向量的方向余弦）；

平面上的两类曲线积分的关系式可类似给出；

2）格林公式：

-

dxdy=Pdx+Qdy

（其中，D是由分段光滑正向曲线 L 围成的区域，函数P（x，y），Q（x，y）在D上有连续一阶偏导数）。

例4 D是平面区域，u（x，y）在D上有二阶连续偏导数，证明：+=0的充要条件是对D内任一圆周L，且L的内部含于D，有∫L ds=0，其中n是曲线L上的点（x，y）处单位外法向量。

证：必要性：若+=0，L是D内任一圆周，且L的内部intL含于D，曲线L上点（x，y）处单位外法向量n=（cosα，cosβ），则单位切向量l为（-cosβ，cosα），由方向导数性质、两类曲线积分的关系以及格林公式，有：

∫L ds=∫L （cosα+cosβ）ds

=∫L dy-dx

=-?intL（+）dxdy

=0

充分性：用反证法，设∫L ds=0，

如果+≠0，即存在点（x0，y0）∈D，+

（x0，y0）=a≠0，

不妨设a>0，由连续性，存在δ>0，在D内圆域（x-x0）2+（y-y0）2?δ2上+?，

取L为（x-x0）2+（y-y0）2=δ2，

则∫L ds=-?intL（+）dxdy?-，这与题设矛盾。

三、线积分，面积分及重积分

两类曲面积分可相互转化；线积分、面积分及重积分的关系可通过斯托克斯公式，高斯公式等联系起来。

1）两类曲面积分的关系：

?∑Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=?∑（Pcosα+Qcosβ+Rcosγ）dS，

其中（cosα，cosβ，cosγ）为曲面∑在（x，y，z）处的单位法向量；

2）斯托克斯公式：

∫L Pdx+Qdy+Rdz=?∑（Ry-Qz）dydz+（Pz-Rx）dzdx+（Qx-Py）dxdy，

其中∑是双侧光滑曲面，L是∑的边界，要求L是逐段光滑的，且∑、L满足右手法则。

3）高斯公式：

?∑Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=?Ω （Px+Qy+Rz）dxdydz，

其中，Ω是封闭曲面∑的内部，∑的方向取外侧。

例5 L为柱面x2+y2=2y与平面z=y的交线，从z轴正向看为顺时针，求I=∫L y2dx+xydy+xzdz。

解：设L在平面z=y上所围区域为∑，取下侧，易知∑法线方向余弦（cosα，cosβ，cosγ）=（0，，-），由斯托克斯公式、两类曲面积分之间的关系得：

I=?∑（Ry-Qz）dydz+（Pz-Rx）dzdx+（Qx-Py）dxdy

=?∑（（Ry-Qz）cosα+（Pz-Rx）cosβ+（Qx-Py）cosγ）dS

=（y-z）dS

=0

例6 计算积分I=?∑（x2cos+y2cos