一道数学例题教学的有效探究

陈德会

摘要：本文通过教学实例和分析，概括总结了在数学课堂中的教学设计：创设情境，激发学生探究兴趣；动手探索，引导学生深入探究；合作交流，促进学生优势互补；反思小结，提炼学生数学思想；课外延伸，深化学生探究。

关键词：有效性；探究性学习；教学设计；数学思想

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）04-0111

所谓数学探究性学习，是指“学生在数学领域或现实生活的情境中，通过发现问题、调查研究、动手操作、表达与交流等探究性活动，获得知识、技能和态度的学习方式和学习过程。”如何在初中数学教学中引导学生进行探究性学习？如何落实新课程理念下的教学目标？本文试图通过课堂实例，呈现与探究性学习理论相结合的探究性学习的课堂教学设计。

（课本例题）已知：如图（1），A是⊙0外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB=BC，∠A=30°。

求证：直线AB是⊙O的切线。

通过学习本节课的教学内容，学生初步掌握了直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。让学生清楚，要证明一条直线是圆的切线，当这条直线与圆有公共点时，作过公共点的半径是常用的辅助线。

改编：如图（2），CD是⊙O的直径，点A在CD的延长线上，OD=DA，点B在⊙O上，∠ACB=30°，求证：AB是⊙O的切线。

在几何教学中，教师适时、适当地将例题变形转化，将例题的潜在功能挖掘出来，不仅可以培养学生举一反三、触类旁通的解题能力，还能有效地训练学生思维的灵活性和深刻性，促进学生掌握科学的探究方法。本题是课本例题改编而来的，学生刚开始接触可能会感到有点困难。如何激发学生的探究欲望，让他们自己来参与数学发现呢？为此，笔者进行以下的教学设计：

一、创设情境，激发探究兴趣

学生将本例题与课本原例题进行对比后，引导学生關注其中的关联。并提问：

（1）看到直径，你能联想到什么？（直径所对的圆周角是直角）

（2）连接BC，OC，你能得到哪些相等的线段？

（3）当∠OCD=90°，就能得到结论吗？

在这里，笔者改编了例题的部分条件，利用课件演示，激起学生疑问：几何问题真是太复杂了，稍改一点，就得好好思考如何证明呢？学生这时处于一种复杂的心理状态，一方面学生非常想解决这个问题，很想说出为什么，另一方面又无法立即解决，因为认知水平不够，这种心理不平衡性激发了学生探究问题的兴趣和热情，从而产生了强烈的求知欲。

二、动手探索，引导深入探究

探究一：引导学生观察分析图形，解决问题并引申结论

如图（3），已知弦AB与半径相等，连接OB，并延长使BC=OB。

（1）问AC与⊙O有什么关系，并证明你的结论。

（2）请你在⊙O上找出一点D，使AD=AC。（自己完成作图，并证明你的结论）

探究二：如图（4），⊙O的直径AB=6cm，P是AB的延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC。

（1）若∠CPA=30°，求PC的长；

（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由：若不变，求出∠CMP的值。

教师引导学生审题，提出本题的考点：切线的性质；三角形内角和定理；切割线定理。

该教学过程设计结合了新课程标准中的探究性学习理论，涉及了变更问题、类比联想、尝试猜想、总结归纳等教学环节，从学生的“最近发展区”入手，为学生构建探究平台，鼓励学生自主动手、动脑实践，引导学生由浅入深，从特殊到一般进行探索归纳，有效拓展了学生思维发展空间，还培养了学生锲而不舍的学习精神和提高了学生的综合素质。

三、合作交流，促进优势互补

1. 以四人为小组，进行组内合作，充分发表己见，形成小组集体意见

学生通过自己个人的分析、探究，获得了个人关于本例问题的见解后，然后与组内的其他同学讨论。这一阶段为每个学生提供了发表自己的看法、认识、见解的机会。主要目的在于挖掘群体的潜能，培养合作的精神。选出一位同学当组长负责协调关系、记录讨论内容。讨论中要求小组每个成员都要发表自己的看法，供大家讨论、批评、切磋、补充，具体的做法不拘一格。为了使讨论充满活力，更好地激发小组成员的创造性思维，可以允许意见、见解有冲突、纷争，无须非达成共识不可。在这一阶段，强调学生的合作精神，通过合作，拓宽学生的思维广度、空间。

2. 进行组际交流，交流验证方法等

教师总结学生的意见：（1）连接OC，根据切线的性质可知OC⊥PC，则△OPC为直角三角形，OC=3，可根据锐角三角函数的定义求出PC的值；（2）从PM是∠APC的角平分线可知∠CPM=∠MPA，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求出∠CMP=∠A+∠MPA=45度。因为∠A与∠CPA为定值，故∠CMP的大小不发生变化.

解：（1）连接OC，PC是⊙O的切线，∴∠OCP=90°；∵∠CPA=30°，OC=■ =3，∴tan30°=■，即PC=3■；（5分）

（2）∠CMP的大小不发生变化；（2分）∵PM是∠CPA的平分线，∴∠CPM=∠MPA，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO；在△APC中，∵∠A+∠ACP+∠CPA=180°，∴2∠A+2∠MPA=90°，∠A+∠MPA=45°，∴∠CMP=∠A+∠MPA=45°；（5分）即∠CMP的大小不发生变化，为45°。

这里，教师留给学生足够的时间，教师提出的几个由浅人深的问题引起学生深入的思考，并且能促使学生“发现问题，作出思考，提出猜想，进行归纳”等探究性的学习活动，并教给学生探究性学习的方法。这样设计探究学习活动，是为了更有利于学生主体性的发挥。

四、反思小结，提炼数学思想

当代荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔指出：“反思是数学活动的核心和动力。”在探究学习中，学生通过自己的艰苦探索，探究出丰富多彩但有些杂乱无章的结果。例如上面的探究二：此题需要学生通过尝试，提出猜想、验证猜想、总结规律.既考查基本的数学知识与方法，又注重从特殊到一般的数学归纳能力的要求，突出了学生对图形的探究及探索出有效的解法策略。在探究过程中，学生出现了以下的常见错误：1. 利用三角函数解直角三角形时，三角函数与边不对应，或三角函数值记错；2. 关于∠CMP的定值问题错误的两种观点：（1）认为∠CMP大小不变者，用第（1）小题的特殊值（∠A=30°）进行论证；（2）认为∠CMP大小变化者，把∠A看成是不变的角（30°），∠CMP=∠A+∠CMP=30°+∠CMP等。这些结果虽然凝结了学生探究的辛苦，但却有对有错，因此，在探究学习过程中，教师应及时引导学生进行反思与小结。对于正确的、合乎逻辑的结果予以充分的肯定，并及时提炼上升到数学思想的高度，要讓学生始终对自己充满信心，引导学生反思。为此，笔者和学生一起从以下几个方面进行总结：

（1）在问题的解决过程中，我们是怎样入手的？我们为什么要从这里入手？

（2）在证明过程中我们主要运用了哪些方法？

（3）本题可以概括出怎样的一般性的结论？

（4）在探究中运用了哪些数学思想方法？

五、课外延伸，深化学生探究

圆中“阴影部分”的面积的求解是历年各地中考的一个必须掌握的知识点，求解时既可以根据图形的特点，将其分解转化为扇形、弓形、三角形、平行四边形、梯形等图形的组合来求解，也可根据其特点，灵活巧妙地运用一些方法技巧，可使问题化繁为简，化难为易，收到事半功倍的奇效，现举例说明。

探究三：如图（6）在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的OO交BC于点M，MN⊥AC，若∠BAC=120°，AB=2，①求证MN是OO的切线；②求图中阴影部分的面积。

分析：一个图形的面积不易或难以求出时，可以利用全部减其余，便可以使原来不规则的图形转化为规则图形。

思路：S阴影部分=S梯形AOMN-S扇形AOM

学生经过自己的主动探索、实验，发现了重要的结论，这是对学生主动参与精神的激励，能使学生体验到主动探究成功后的喜悦，增强学生学习的动力和信心。经过组内和组际的交流，能使学生各自得到不同的收获，同时能使学生感悟到“面对新问题，联想旧知识，寻找新旧知识之间的关系，揭示知识规律，获取新知”的探究方法和策略，使他们更自觉更主动地投入到探究性学习活动中。

学生探究性学习活动能否顺利实施，关键在于教师能否创造适宜的教学情境和进行合理的引导。在新课程实施过程中，教师要运用一切可能的手段，不断优化教学设计，激发学生的学习兴趣，创设有效的探究时间和空间，形成良好的探究风气，让每个学生都有主动探究的机会和欲望，从而真正实现“不同的人在数学上得到不同的发展”。

（作者单位：浙江省苍南县钱库镇第一中学 325800）