以函数思想为主线的综合应用研究

摘 要：本文以函数的思想为主线，结合方程思想、分类讨论思想这两种重要数学思想方法的应用研究，使学生从本质上理解函数，知道方程、分类讨论方法在解决函数问题当中的重要性。

关键词：高中数学；函数；方程思想；分类讨论思想；应用

中图分类号：0174

一、背景提出

高中阶段的数学教育，是在初中数学教育的基础上对学生进行的进一步教育，使学生不仅在知识理解、解题技能上有了提高，也使学生对数学思想方法有了更深层的理解。因而，在平时的学习中，我们除了知识、能力等最基本素养的培养外，也应重视对思想方法素养的培养与提升。

高中阶段的学习，不仅仅注重学生对数学知识的理解，更注重学生对数学本质及内涵的理解和运用。在新课改中，这种对数学本质及内涵的理解与应用以数学思想方法的形式呈现出来，近年来对学生数学思想方法综合应用能力的考查已越来越成为高考命题的核心部分。而函数是数学学科的基础性概念之一，也是高中数学学习的重要内容及数学教学的主线。本文以函数的思想为主线，结合方程思想、分类讨论思想这两种重要数学思想方法的应用研究，使学生从本质上理解函数，知道数学思想方法的重要性，明白数学思想方法在解题中有密不可分的联系，使学生达到思维系统连贯，逻辑脉络清晰严谨，以形成数学基础素养。

二、函数及函数思想概述

函数概念的历史发展是一个漫长的过程，从公园前2500年开始。最早提出函数（function）概念的，是1692年德国数学家莱布尼茨。后又经历了贝努利、欧拉等人的改译。在1837 年狄利克雷（（Dirichlet，德，18051859）给出了深层次的函数概念：“对于在某区间上的每一个确定的 x 值，y 都有一个或多个确定的值，那么 y 叫做 x 的函数”[1].这一概念被认为是经典的函数概念。1930 年新的现代函数定义为：若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素 y 与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为 y=f（x），元素x称为自变元，元素 y 称为因变元，继而现代函数概念形成[2].用集合对应的观点定义函数，这一定义一直延续至今。函数思想是在函数概念的发展过程中顺应产生的，函数思想的实质是从已知中提炼数学语言，构造函数关系，再用函数的关系解决问题，也是对函数概念的本质认识”。

三、函数思想的应用研究

反思：从本题可以看出在高中函数解题中常将函数与方程结合起来应用，二者有密不可分的关系，结合起来的数学方法叫函数与方程思想方法，本题选取了高中里一个重要的数学题型，同时我们也应该注意，高中函数可以结合在多知识点中考查，其考查本质在于学生看到函数存在等式关系时就应该自然联想到函数与方程思想，我们总在强调学习过程中不应该思维固化，但遇到函数等式问题我们应该立刻反映出方程的解题思想，进而再根据具体问题，选取具体方法。

（二）函数思想结合分类讨论思想的具体运用研究

例 讨论f（x）=x+αx+1nx的单调性.

分析：本题主要考查含参数函数的单调性，函数单调性是函数问题中的一个重要题型，题目看似简单，但区间的分类确是难点所在，要想掌握好函数单调性问题，就要充分理解并掌握分类讨论思想，本题的解题切入点是求出函数的导数，进而对导数进行分类讨论，要求学生有条理的分类，同时我们也应该知道求函数单调性的重点是要找到函数的零点，再对零点的左右区间进行分类讨论，综合所有的解得出函数的单调区间。

反思：含参数的函数求解单调性是高中数学的重点内容，参数复杂多变，要求学生有条理的进行分类才能解决这类问题。在江苏高考数学卷压轴题中，含参函数的分类讨论是难点，也是拉开学生分数差距的一种题型，纠其原因是学生在进行分类讨论时，不能有条理的分类，所以要想做到准确分类，首先应该教学生明确对什么进行分类，分类标准是什么，进而再结合具體问题逐级求解。在平时学习的过程中学生应该总结不同题型的分类标准，在教学时教师也要注意数学思想方法的归类教学，强调重点，突出难点，引导学生自己进行归纳总结。

四、结语

通过以函数思想为主线结合两种重要数学思想方法的实例研究使我们了解到，函数知识在高中数学中占有重要的地位，贯穿在整个高中数学知识教学、学习的全过程中，是在初中函数知识学习的基础上的进一步的拓展与延伸。同时我们也清楚各知识之间不是相互独立的，而是紧密联系在一起的。在解题时不可孤立知识看问题，充分利用已知与未知之间的联系，多角度的考虑问题，达到认真、严谨、细致的地步。教师在教学时要对学生以前所学知识有系统的把握，对整个高中数学知识有深入理解，这样在教学时可以完整、精确的讲述数学知识，这样学生在学习知识时可以减少繁杂的过程，使学生学习到系统完整、条理清晰、思维连贯的数学知识，同时在教学过程中多渗透基本的数学思想方法，引导学生自己总结、归纳、提炼常用的方法，达到快速解题，使自己的数学素养得到提升。

参考文献：

[1]尤维明.不断前进的函数发展史[J].初中生世界（八年级），2016，（2）：7475.

[2]蔡上鹤.高中数学新教材第二章教学问答[J].中学数学教学，2001，（1）：16.

作者简介：田研（1993），女，汉族，吉林梅河口人，南京师范大学教师教育学院在读硕士研究生，研究方向：学科教学（数学） 。