从“圆环的面积猜想”看数学思想方法的综合应用

杨磊

摘要：小学生在解决数学问题的过程中面对一个问题可能尝试运用多种数学思想方法，这些数学思想方法之间不是完全独立的，相互之间有联系、有渗透，数学思想方法的综合应用有助于学生多层次、多维度的深刻理解数学的内涵本质。以“圆环的面积猜想”为例，谈一谈数学思想方法的综合应用。

关键词：小学数学；数学思想；方法；综合应用

G·波利亚指出，完善的数学思想方法犹如北极星，使人们找到正确的道路。如果说，数学的概念、性质、法则，公式、数量关系等基础知识是解决问题的“兵力”，那么，蕴含于这些基础知识发生与发展过程中的更深层次的知识——数学思想方法则是解决问题的“兵法”。数学解决问题能力的培养，既要重视“兵力”的调集，又要重视“兵法”的演练，才能达到闻一知十、触类旁通的效果。

小学生在解决数学问题的过程中面对一个问题可能尝试运用多种数学思想方法，这些数学思想方法之间不是完全独立的，相互之间有联系、有渗透，数学思想方法的综合应用有助于学生多层次、多维度的深刻理解数学的内涵本质。下面就以“圆环的面积猜想”为例，谈一谈数学思想方法的综合应用。

一、求同存异，节外生枝

（一）常规方法

六年级毕业总复习阶段梳理平面图形的面积会涉及到圆环的面积问题（如下图）

大部分学生在解答这个题目时的方法是：

3.14x（62-42）

=3.14x（36-16）

=3.14x20

=62.8

教师在这里一般要点拨学生转换：通常应用乘法分配律把3.14提到小括号的外面来计算比较简单。

（二）节外生枝

在集体订正之后，P同学举手：“老师我还有不同的方法。”

（2×3.14x6+2x3.14x4）×（6-4）÷2

=（37.68+25.12）×2÷2

=62.8

二、借力打力，引发思考

在P同学说完算式后我一时没弄清楚她是怎样想的，于是追问：“能和大家说说你是怎样想的吗？”

P同学说：“我想象把圆环剪开再拉直，变成了一个梯形，按照梯形面积的求法求圆环面积。内圆周长相当于梯形的上底，外圆周长相当于梯形的下底，圆环的宽相当于梯形的高。”

或许P同学有着很好的几何直觉，但这种想法是否正确当时我难以定夺，决定深挖出她的思维脉络。

继续追问：“能说说，你是怎样想到这种方法的吗？”

P同学说：“我们研究过刷房间的问题，需要粉刷前、后、左、右、上5个面的面积。可以想象把前、后、左、右4个面展开、拉直成一个大长方形，原来长方形的底面周长相当于大长方形的长、原来长方体的高相当于大长方形的宽，即底面周长×高=侧面积。我从那个问题联想到将圆环也剪开、拉直变成一个梯形，按照梯形的面积方法求面积。”

回顾：五年级学习刷房间问题时的确讨论过这种方法，请学生们想象长方体侧面展开、拉直的过程，并亲自动手折纸，观察、操作、验证，学生有这样的数学活动经验。

显然P同学进行了类比推理，类比推理常常用于发现真理，但这种推理得到的结果是或然性的。

把圆环拉直？是否真的可以变成梯形？（毕竟曲与直之间有很大的差异）背后数学的思想方法又是什么？

出乎意料的想法让我的大脑一片空白，把皮球踢给了学生：“同学们，这种想法到底是一个偶然的巧合还是有必然的规律呢？现在这种想法或许只能叫做猜想，你们能找到方法进行验证吗？”

三、先猜后证，解释说明

（一）算数思维，举例验证

学生们很快想到了举例子验证的方法，同桌之间分别用圆环面积的一般方法和P同学类比梯形面积的方法求面积，再进行比较：

①R=8 r=-5

3.14x（82-52）

=3.14x（64-25）

=3.14x39

=122.46

（2x3.14x8+2x3.14x5）×（8-5）÷2

=（50.24+31.4）×3÷2

=81.64x3÷2

=244.92÷2

=122.46

②R=10 r=6

3.14x（102-C）

=3.14x（100-36）

=3.14x64

=200.96

（2×3.14x10+2x3.14x6）×（10—6）÷2

=（62.8+37.68）×4÷2

=100.48x4÷2

=100.48x2

=200.96

③R=20 r=15

3.14x（202-152）

=3.14x（400-225）

=3.14x175

=549.5

（2x3.14x20+2x3.14x15）×（20—15）÷2

：（125.6+94.2）×5÷2

=219.8x5÷2

=1099÷2

=549.5

举出了许多例子之后，学生们大多认可这是一个规律。但是作為数学教师，我知道举例子在数学上属于不完全归纳法，得出的结论也是或然性的。

于是反问：同学们，我们举出了一些例子，即使举出10000个例子都是正确的，能够保证第10001个例子也是正确的吗？你们还有更好的方法能够验证这个猜想吗？

一石激起千层浪，学生们由刚才的激动、兴奋又进入了静静的思考……

（二）代数思维，字母推理endprint

经过冷静的思考和深入的讨论学生们想出了用字母推理的方法，用字母推理的得到的结论具有一般性。

圆环面积=盯（R2_r2）

想象成的梯形面积=（20R+20r）×（R-r）÷2

=20（R+r）×（R-r）÷2

=π（R+r）×（R-r）

=π（R2-r2）

通过用字母推理终于可以验证这个猜想了，圆环虽然不能拉直变成梯形，但我们可以想象圆环可拉直，从而类比得出面积求法。学生们感叹这种“类比”想法的神奇，一致同意把这种想法命名为“P氏猜想”加以表彰鼓励。

（三）几何直观，帮助理解

课上的时间有限，字母推理之后就下课了。课后我的心里久久不能平静，一方面是激动于P同学能够想出这种与众不同的方法，另一方面是字母推理的方法虽然严谨但比较抽象，班里还有许多学生理解起来有困难。

课堂上不能只看到老师和学霸在秀恩爱，怎样帮助有困难的学生理解呢？

波利亚说：“抽象的道理是重要的，但要用一切办法使它们看得见，摸得着。”

如何能够形象直观地理解这种想法，就成了帮助有困难学生的思考方向。查阅资料后，在某版本小学学数学教材中的《数学万花筒》栏目中看到了一个例子让我眼前一亮。一个草绳编的杯子垫，沿着半径剪开，展开后得到一个近似三角形。三角形的面积相当于圆的面积，三角形的底相当于圆的周长，三角形的高相当于圆的半径。

学生们借助这幅情境图，很容易想象出圆和三角形的关系。

进一步启发学生，如果杯子垫不是圆形而是圆环，展开呢？学生们在头脑中也能想象出来展开之后应该是梯形，圆环和梯形的关系也能想明白。圆环可以看做两个同心圆，它们都转化为三角形以后重叠，相差部分就是梯形（上底是内圆周长，下底是外圆周长，高是半径之差），其面积也就是圆环的面积。

进一步演示圆环展开的flash动画，帮助学生们观察、验证。

（四）极限思想，量变质变

圆环面积的背后还蕴含着怎样的数学思想？能否让小学生也感悟一下呢？

如果将圆环平均分害4成若干份，那么每1份相当于一个近似梯形，如果按照梯形面积公式计算：（上底+下底）×高÷2。

这是将圆环平均分害4为360份，如果无限分割下去，曲与直之间就逐渐重合，每1份的面积就无限接近梯形的面积。在这里两个“无限”是理解极限思想的核心，小学生不需要严格的数学推理证明，展开想象能够感悟到其中从量变到质变、以直代曲等核心观点即可，这对于感悟数学思想方法、积累数学活动经验具有重要的意义和价值。

四、回顾反思。提炼升华

（一）回顾反思，再发现过程

波利亚说过：先猜，后证——这是大多数的发现之道。P同学能提出这样的猜想说明数学思想方法已经在她的头脑中生根发芽了，研究“圆环的面积猜想”学生和教师像数学家那样经历一个“再发现”、“再创造”的思考过程，这对于培养创新能力具有非常重要的作用。因此我引导学生回顾反思“先猜后证”的发现过程，帮助学生们深化感悟其中蕴含的猜想验证、推理、转化与化归、数形结合、极限等数学思想方法，积累思维活动经验。

（二）两次追问，暴露思维状态

大家都知道，高斯是一个很有名的数学家，被称为数学“天才”、“神童”。他一生发明了很多数学定理，发明了许多数学的概念和公式，我们都不理解这个人是怎么想出来的。有些历史学家查阅过他的日记，从日记中才知道，高斯的每一个发现和发明都做了大量的实验、大量的猜测、大量的演算，最后用定理表示出来。但他把这些计算过程、演算过程、发现过程统统都拿掉了。

历史学家的结论是，高斯是一只狡猾的狐狸，用它的尾巴扫掉了行进的足迹。大部分数学家都是高斯这样的。

本案例中通过两次追问：1.你是怎样想的？2.你是怎样想到这个方法的？暴露出P同学的思维过程和思考方法，并与其他同学共享。这样其他同学在学习的过程中不仅仅当一个旁观者、旁听生，更重要的是思维积极参与，吸收好的方法。交流、合作、分享不仅仅是形式的体现，分享好的想法能够达到相互学习、取长补短，在智力上互相传染、共同提高的效果。

（三）抓住关键，提升思维品质

陈省身先生说过：数学是自己思考的产物。首先要能够思考起来，用自己的见解和别人的见解交换，会有很好的效果。思考数学问题需要很长时间，但在中小学数学课堂上，常常给学生的思考时间较少，容易形成学生思维浅表化的倾向。圆环的面积猜想整个研究过程前后大約进行了一周的时间，在关键之处舍得花时间给学生提供探索、交流、质疑的时间和空间。如果没有当初的节外生枝，恐怕也难以成就后面的精彩，持续深入的思考对学生和教师都具有重要的意义。在这个过程中师生都体验到了克服困难的喜悦，增强了学习数学的兴趣，思维品质也得到了提炼升华。

[责任编辑 牛宾国]endprint