以形驱数，高中数学教学的思路及延伸思考

朱斌

[摘 要] 数形结合是高中数学的基本特征，研究形与数，还需要研究学生在学习过程中所使用的思维方式. 事实证明，与形相关的未必是形象思维，而与数相关的也未必是抽象思维. 具体的要根据学生的学习反馈来推理、判断学生实际使用的思维方式. 考虑到学生更多的习惯形象思维的特点，因此在数学教学中建立“以形驱数”的思路，可以取得较好的教学效果.

[关键词] 高中数学；以形驱数；教学反思

数形结合是数学的重要思想，也是数学教学的重要内容，从概念内涵角度讲，数形结合强调的是数学研究的两个基本对象“数”与“形”，在数学学习过程中的相互作用，在强调“结合”这一要求的时候，教师的第一反应往往是由于概念构建或问题解决的需要，让数与形同时发挥相应的作用. 这从知识发生的逻辑角度来看是合理的，也是必要的. 但考虑到教学是一种特殊的活动，现代教学理念强调以学定教，那在学生的数学学习过程中，数形是不是同步发展的呢？在笔者看来，事实并非如此，尽管我们认为高中数学教学中学生的思维更多的是抽象思维，但实际上高中学生在数学学习的过程中，形象思维往往发挥着重要的作用，某种程度上还是思维方式迈向抽象思维的基础，而对数与形的思维加工方式显然是不同的，数是抽象的存在，必定以抽象思维方式为主，而形则是形象的存在，离不开形象思维的支撑. 在教学中可以尝试以形驱数，从而让更多的学生能够在自身思维方式的作用之下，获得更好的学习效果.

以形驱数，更符合学生的认知规律

研究表明，高中学生在数学学习中更多习惯使用的还是形象思维，这与传统的认识可能有所不同，事实上当我们认为学生的数学学习是由抽象思维支撑的时候，更多的是从数学学科特点出发的，而不是从学生的认知实际出发的.学习心理专家研究表明，人在学习过程中，更习惯以形象思维方式来进行，如果遇到陌生情境或较难的问题的时候，更是如此. 如果此过程中形象思维无法发生作用，那学习就不会发生，就会出现“学困”的情形. 这里可以通过一个具体的例子来说明.

在“函数的概念和图像”的教学中，我们总认为概念是由文字和公式描述的，而图像是由图来描述的，因此图像更容易为学生所接受. 而实际上学生在学习的过程中，恰恰是对图像的加工会出现更大的困难，这是为什么呢？

分析函数的概念可知，函数的概念描述是“一般地，设A，B是两个非空数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数.”这段描述不可谓不生涩，但学生理解起来却不会有太大的困难，为什么，因为在理解这个事例的时候，笔者让学生结合具体的事例来进行，看到“A，B是两个非空数集”，就想到自由落体运动中的路程与时间，看到“对应法则f”，就对应自由落体运动的关系式y=……这样，学生在理解这段文字描述的时候，其实大脑中是有自由落体的表象的. 这个表象恰恰是形象思维加工的对象，也就是说此过程中，形象思维发挥着重要的作用，正是因为形象思维的支撑，所以学生理解函數的定义并不显得十分的困难.

而当学生在理解函数的图像的时候，学生的思维方式是怎样的呢？图一定对应着形象思维吗？笔者曾对多名学生做过口头调查，并结合他们新学函数图像知识与解题的过程进行判断，结果发现，事实并非完全如我们所想象的那样.因为在新课上，函数图像常常是怎样形成的呢？是用现代教学手段如计算机中的excel软件生成的，这个过程看似形象，其实却与学生的构思存在较大的距离. 学生会怎样认识函数图像？用学生的话说：我想知道函数为什么需要，又为什么可以用图像表示？图像对于理解函数又有什么作用？在学习的过程中似乎没有看出来……针对学生的这一困惑，笔者分析这部分学生在构建对函数图像的认识的时候，他们没有与函数的本质对应起来，他们不知道图像其实也是一种描述变量与函数关系的方式. 于是笔者就引导学生认识：函数是做什么用的？是描述两个集合之间满足唯一对应关系时的变化的. 函数是用什么来描述的？是用文字语言描述的. 文字语言是抽象的，要想更形象地看出函数与变量的对应关系，有没有更形象的方式？学生自然想到图像. 教师应当追问：为什么图像也可以描述函数呢？那就要看图像的横轴与纵轴分别表示什么？其又是如何显示变量的变化，以及函数随着变量的变化而变化的……

事实证明，通过这样的分析，学生头脑中函数图像的理解就不是生硬的，他们准确地把握到了函数的图像其实只是描述两个非空数集在对应法则作用下的对应关系的另一种方式. 而事实上，一旦学生这样理解，就意味着他们的思维方式不再是纯粹的抽象思维，而是在运用形象思维理解函数文字定义基础上，进一步通过形象思维完成对函数图像理解的思维方式的迁移. 从这个角度讲，达到了以形驱数的效果，其是符合学生的认知规律的.

以形驱数，促进数学知识更好构建

以形驱数是面向学生的思维方式而提出的教学思路，这一思路在数形同在的数学知识构建中，有着很好的促进作用，这是已经为笔者的实践所证明了的. 现以一个例子来说明：

“椭圆的标准方程”是高中数学圆锥曲线中的基础内容，其上接学生已经熟悉的圆的方程，下启双曲线等圆锥曲线的学习，本课的学习在数学方法与圆锥曲线这一章的思路构建中有着重要的作用. 从数形角度来看，椭圆本身是属于“形”的，且此形对于学生而言具有某种前概念（当然并不完善，需要经由同化的过程完成构建），而方程是属于“数”的，用数的关系来表示形，在椭圆标准方程这一内容的学习中表现得淋漓尽致. 而学生的过程，亦可由以形驱数展开.

第一步，建构椭圆概念（具体略），待学生认识到椭圆并非随便将圆压扁，而是具有一种特殊规则的曲线时，学生自然就产生问题：一个满足什么条件的圆才是真正的椭圆？这个过程也可以举出实例，如如何制造出真正的椭圆面的碎石机等，以驱动学生更好地探究何为真正的椭圆.

第二步，让学生建立准椭圆表象. 此时，学生是知道椭圆是吻合某个规则的，但学生又不知道具体的规则是什么？因此只能构建一个准椭圆的表象，这个表象可以由教师呈现生活中的椭圆线或面，然后让学生通过回忆的方式去建立表象. 建立表象的过程，就是运用形象思维加工学习对象的过程，此过程中，形象思维可以得到充分的运用. 其后，提出问题：怎样建立椭圆的标准方程？

第三步，建立关于椭圆标准方程的想象表象. 想象表象与一般表象不同，其是学生在已有事实的基础上想象而成，其具有创造性性质. 而从思维的角度来看，其以形象思维为基础，以抽象思维促进其中创新成分的形成. 学生要构建出的想象表象应当具有先后顺序：先是在刚才建立的椭圆表象的基础上引入坐标系，使得椭圆的中心与直角坐标系的原点重合. 其后，根据此前已经学过的椭圆的概念，在x轴上确定两个焦点的位置，然后根据椭圆的定义，建立椭圆上任意一点P到两个焦点距离等于2a的等量关系. 这是定义演绎的产物，属于逻辑推理的结果，从思维的角度来看，属于抽象思维. 实际上在此过程中，学生的思维已经完成从形象向抽象的转变.

第四步，对刚才建立的等量关系式进行抽象加工，使之演绎成标准方程的形式. 具体的情形，数学同行都比较熟悉，这里不赘述，只从思维角度进行分析. 显然这是一个更高水平的推理过程，其中运用到移项、平方等基本的数学处理方式，同时必须向学生表明的是：既然是寻找标准方程，那一定有一个标准的形式，这是标准方程赖以存在的形式基础. 有了这样的认识，最终的椭圆标准方程的建立过程，就比较顺利.

在以上四个步骤当中，学生的思维完成从形象到抽象的转换，思维加工的对象也从具体的“形”转向了以方程形式呈现的“数”，这可以说是一个比较标准的以形驱数的学习过程，也正是这个过程，驱动了学生有效的椭圆标准方程的构建.

以形驱数，树立数学教学科学认识

回过头来再思考以形驱数的教学思路，可以发现这是一个形神兼顾的教学思路. 从形的角度来看，其立足于数学研究的两个最基本的对象：数与形；从神的角度来看，其从学生数学学习过程中的思维方式入手，着重关注了学生习以为常的形象思维方式，以及在数学问题驱动之下的抽象思维方式.

如果说这个思路有值得注意的地方，那就是对学生学习方式的确定是不以教师的想象为主的，而是以事实为依据的；不是通过数学知识的形式去判断学生的思维方式，而是以学生的学习过程中的表现、反馈来判断学生的思维方式的. 这种尊重事实、强调从学生学习反馈来判断学习过程的思路，恐怕是高中数学教学中需要重视的. 在笔者看来，这也是一个树立科学的教学认识的过程，如果对学生的学习认识是有偏差的，那所选择的教学思路肯定也就容易出问题.