华晓如
[摘 要] 论文基于问题教学法和“说数学”理论,通过一节《零点存在性定理》的教学实践,论述如何在开展教学对话中,以达到“以问诱思,以说促学”的教学效果.
[关键词] 以问诱思;以说促学;教学对话
古代中国孔子奉行“不愤不启,不悱不发”,在教学中对学生循循善诱、相机启发. 在古希腊,苏格拉底运用“精神助产术”通过“提问—回答—反诘”的模式帮助学生一步步逼近正确的结论. 这些都是进行教学对话的典范. 本文笔者从一节“零点存在性定理”的教学实践出发,通过开展教学对话,以达到“以问诱思,以说促学”的教学效果,让学生体会到知识的来源,建构自己的知识框架,深入理解问题.
案例描述
1. 片段1:高一新授课“函数零点存在性定理”的讲解
开始教师先简单讲解了函数零点的概念和几道求函数零点的练习题,为主体知识的讲解热身. 接着,教师开始提出一系列问题:
问题1:单调函数有几个零点?请举例说明.
问题2:假设函数f(x)在[a,b]上的图像是一段连续不断的曲线,请发挥你的想象力,作出符合以下要求的函数图像.
(1)f(a)·f(b)>0且f(x)在(a,b)上只有一个零点.
(2)f(a)·f(b)>0且f(x)在(a,b)上不止一个零点.
(3)f(a)·f(b)>0且f(x)在(a,b)上无零点.
(4)f(a)·f(b)<0且f(x)在(a,b)上只有一个零点.
(5)f(a)·f(b)<0且f(x)在(a,b)上不止一个零点.
(6)f(a)·f(b)<0且f(x)在(a,b)上无零点.
问题3:观察上图你可以得出什么结论?
问题抛出去后,学生立即展开思考和热烈讨论并陈述自己的所得. 问题1:大部分同学能异口同声地说出答案“一个或零个”,并举出了指数函数和对数函数等例子. 问题2:陆续有学生走上讲台画出了(1)~(5)问的图像,第(6)问学生犹豫不决,但最终画出了反比例函数的图像.
这时,教师进一步引导学生说出在解决上述问题中的发现.
学生A:“图(1)~(3)可以发现当区间端点函数值同号时函数在该区间有可能存在零点,也有可能不存在零点,即使存在也无法断定函数有几个零点. ”
教师马上给予评价:“很好,能够将图(1)~(3)归为同一类型‘区间端点函数值同号来分析,并得到了准确的结论,请大家继续观察图(4)~(6). ”
课堂上马上有不少学生对图(6)提出质疑:图(6)所作的反比例函数不符合“假设函数f(x)在[a,b]上的图像是一段连续不断的曲线”的要求,所作图像是无效的.
教师:“既然作不出满足要求的图像,这说明什么呢?”“区间端点函数值异号函数在该区间上必定有零点.” 在教师和同学们的提醒,学生C更准确地表述出了他的观点:“一个函数在闭区间上连续,并且区间端点函数值异号,则函数在该区间上必定有零点.” 准确的表述获得了教师的赞许和同学们的掌声. 再引导学生把问题1和问题2联系起来,学生D马上发言:“单调函数有一个或零个零点,如果区间端点函数值同号,就不可能有零点了;但如果区间端点函数值异号,那就肯定存在一个零点!”教师立即高度肯定该同学:“一不小心就把函数零点存在性定理给讲出来了!”于是,在教师设置的一系列相关问题中,学生思考问题,说出自己的看法和观点的过程中,自然而然地对这节课的难点“零点存在性定理”的条件、结论有了深刻的认识.
2. 片段2:“函数零点存在性定理”的运用
教师给出例题“求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数”,并设问题1:能否转化为方程的根,通过解方程来得到答案?问题2:题目要核心解决的是什么问题?有没有快速解决的办法?问题3:题目给出的函数具有什么特性?能不能想象一下函数图像的样子?问题4:作为一道解答题,我们应该怎样进行逻辑说理?
学生E:“无法通过解方程解决,也没有必要,因为题目的核心问题是零点个数,而非零点是什么. 但是可以参考解方程的过程,把lnx+2x-6=0转化为lnx=6-2x,从而通过作出等式左右两边的图像快速得到答案是1个.”设置问题1和问题2的目的已经达到:强调了审题的重要性和解题方法的灵活性. 问题3的解答也很顺利,学生发言踊跃:“在(0,+∞)上连续不断地递增.”并自然地联想到了可以运用刚学的“零点存在性定理”来解答此题. 再继续引导学生回顾定理内容,整理解题思路,最后学生F总结发言:“解题过程由三部分组成,要说出函数的连续性、函数的单调性和找到两个异号的函数值.”教师补充说明:“单调性必须给出严格的证明,寻找异号函数值是个难点,要适当地放缩处理.”最后学生开始动笔答题,从而水到渠成.
3. 片段3:零点问题的拓展
教师给出例題(2009年天津高考题改编):设函数f(x)=x-lnx(x>0),分别讨论y=f(x)在区间,1和(1,e)内的零点个数.
此时,不用教师多说,学生已经能够利用解决上一题的成功经验“图形初判”快速得到答案,并利用“零点存在定理”顺利地解答“在(1,e)存在一个零点”的问题. 但在区间,1上却遇到了困难,不少学生开始抱怨“定理不管用了”. 教师鼓励学生把观察到的现象说出来,学生G发言:“在区间,1上,函数f(x)=lnx的图像一直在x轴下方,而g(x)=x的图像在x轴上方,怎么可能有交点呢?这不是一目了然吗?还需要逻辑说理吗?”学生H立马补充:“对哦!那说明lnx
案例分析
本节课的主体结构是依靠教师一环扣一环的提问来构建的,以此来不断地促进学生主动思考,寻求解决问题的办法.
1. 以问诱思
以问诱思,关键在于“诱”,核心在于“导”,结果在于“发现”. 纵观整个教学案例,所有的设问都是想达到让学生明白“为什么这样”“可以怎么解决”的目的.
(1)首先,好的提问设计“可以激发学习者去解释现象、事实以及它们之间的联系”. 设问要服务于教学内容,巧抛绣球,突破重点,表现教师对教材的深入研究. 比如片段1中通过摆出若干问题,层层诱导,都是为了帮助学生发现“区间端点函数值同异号与零点是否存在”之间的关系,使定理的内容自然呈现.
其次,好的提问设计“可以激发学习者去探索概念、定理实际运用的方法”,它必须富有启发性、针对性,能解决教学难点. 案例中的片段2和片段3通过层层设问,启发学生学会审题、破题,抓住解题的关键,整理解题的步骤,将题型总结归类,实现了“一题多用”,触类旁通.
最后,好的提问设计应该是设计好一系列问题,要“收放自如”. “放”指由一个中心问题向四周辐射展开,比如文中的案例中心问题是“零点存在性定理”,由此展开的问题包括“定理的内容”“定理的运用”“定理的拓展”;“收”指最后要设置让学生可以由表及里,进行总结归纳的问题. 三个片段均有这样的设置,让学生既有所悟,又能及时梳理.
2. 以说促学
以说促学,重点在于“说得通”. “说数学”提高了学生的参与度,尤其是智力参与. 比如片段1,学生在谈论中互相比对,就能够知道自己画出来的图像是否满足要求,从而及时修正,一步步接近定理,最后提炼出定理的内容,这过程就是创造型和反思型的智力参与过程. 在片段2中讨论解题步骤时,又是一种操作型的智力参与. 在片段3中,寻找解决无零点问题的办法也是在学生讨论的过程中和不断地反思中找到的整节课的生成. 在“说”的过程中,“培养了学生的注意力、观察力、想象力和语言表达能力”,即促进了学生在数学课堂上的智力参与.
学生在“说不通”或者“说不下去”的时候最容易暴露错误,此时也最容易纠正错误. 相比课后批改作业、测验,“说数学”是一种最直接、最高效的教学反馈手段. 在上述案例中,有的学生就由于忽略定理使用的条件,导致作图错误,但被教师和同学及时纠正;有的学生在解决无零点问题时偏离了正常轨道,也在大家的帮助下找到了正确的解题途径.
3. 课堂上教师的“问”和学生的“说”必须紧密地结合起来
教与学的本质是互动,其核心是思维互动,而问答具有促动思维的功能. 有了语言的交流,我们就有了探查思维的途径. 本文倡导的“问”并不是单独一个问题,而是通过设置一系列问题去搭建一节课的框架;本文倡导的“说”,也不是局限于回答,而是尽量让学生畅所欲言. 以问诱思,以说促学,对教师提出了更高的要求,也给了学生更多的表達机会,教师的肯定、帮助,学生在能力提高的同时,精神层面也更容易获得满足,对人格的完善也起到了促进作用.