论极限对学生数学思维能力的影响

马静亚

摘 要：本文通过对极限概念的剖析，列举相关案例，阐明极限学习如何使学生的数学思维能力（思维的深刻性、严谨性、辩证性）得以提升。

关键词：极限；数学思维能力；辩证思想

【中图分类号】G 【文献标识码】B

【文章编号】1008-1216（2017）04B-0092-02

数学学习最重要的是培养学生的思维能力，在学习的过程中帮助学生学会思考、学会学习、学会求知。良好的数学思维能力是个人适应现代生活和未来发展的重要能力基础。本文通过几个案例来透视极限对学生数学思维的影响。

一、通过极限的学习提高思维的深刻性

中学学习的数列极限主要为定性描述，如：“an与a的距离无限接近”“|an-a|的值无限小”，更有“an与a的距离比你所能想到的还要小”等。数学分析在对极限部分的处理上，引入了定量化的极限概念，这与中学学习极限概念彻底划清了界限。

将极限概念用简化的逻辑符号来表示： an=aε>0，N>0，当n>N时，恒有|an-a|<ε。此定义是由一堆抽象的字母与数学符号构成，同时又包含“任意给定”“存在”“对所有”这些量词，逻辑结构复杂难以理解，很容易对它把握不准。因此在整个学习过程中，要注意“由主到次”“由粗到精”地层层剖析，捋顺其中的关系，深入地思考与分析很有必要：

（一）对于任给的ε，首先它可以是实数域内任意取的正数，但ε一旦确定，又是实数域里的一个定值。因此，它一方面是任意的，以保证an与a的接近程度；另一方面，它又是固定的，以保证检验步骤的进行。通过分析ε的任意性和确定性，来准确地从“量”上把握数列极限。

（二）一般由|an-a|<ε推出N，随着ε的变小，N越来越大。虽然N与ε有关，但并非由ε唯一决定，关键是N的存在性。

（三）对于不等式|an-a|<ε-εN的点an都落在a的ε鄰域里，而在此邻域外的点，至多在数列{an}前有N个有限点。 在这样层层分析极限概念的学习中可以不断提高学生思维的深刻性。

课堂学习中有这样一道题目：0.9是否可以等于1？大多数同学是这样回答的：0.9不会等于1，并且0.9永远小于1。因为作为小数的0.9，即使后面再有无数个9，总不能与正数1相等。但这道题的正确答案是：0.9与1相等。

分析上述解答中存在的问题，学习者还是延续初等数学的思想，用有限思想来考察无限的变化问题。应用极限的思想来解答，即，这样来看二者相等是显而易见的。因此，当把的n扩大看成是有限的，0.9小于1，但当n增大到一定的限度，量变成为质变，0.9与1相等。

这是初等数学与高等数学明显的异同点，在分析这种问题时，我们要有意识地进行思考与训练，多进行这样的练习，思维深刻性就会在无形中得以提高。

二、通过极限的学习训练思维的严谨性

极限理论是一个严密的系统，初学者常犯思考不全面，逻辑不严谨的错误。

例1：求极限： 。

学生解答 原式= ++…+=0 。

分析：错解的问题在于用错极限和的性质，只有和为有限项时和的极限才等于极限的和。本题中，极限和看起来是有限个（n个），但实际为无穷多个（n→∞），上述性质就不再适用。这反映出学生思维的不严谨性。

正解：本题可以将极限式化为积分和，使用定积分进行计算。

例2：求极限 。

学生解答 原式 ==0。

分析：学生解答中，首先没有弄清自变量是朝两个方向无限增大，得到arctanx =的错误结论。再次，将∞直接写到分母位置并没有理论根据。此外，忽略商的极限条件，直接令，虽然得到的答案是极限为0，与正确答案一致，但解答思路错误。

正解：①当x→+∞时，arctanx→+，→0，根据无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量这一结论，能够得出

=0。

②当x→+∞时，arctanx→-，→0，根据同上结论，

能够得出 =0。

要避免上述情况发生，不仅要具有坚实的知识基础，更要树立严谨的解题观念，掌握正确的方法与技巧。这就要求我们在学习过程中，要特别注意加强对概念定义的严格把握，对题目内容的全面分析，以增强思维的严谨性。

三、通过极限的学习，提高思维的辩证性

极限中蕴含着丰富的哲学辩证思想，把极限理论与哲学思想融会贯通，对于提高学生思维的辩证性，形成正确的世界观和人生观都有很好的作用。

（一）量变与质变的转化统一

量变发展到一定程度，就会引起质变，这是事物发展的必然结果。对于极限也不例外，如函数f （x）=A，x与f （x）在不断进行量变，无限变化过程中发生质变，x变为定值x0，f （x）变为定值A。

（二）有限与无限的转化统一

正是引入了无限思想才使得极限概念得以确定，虽然有限与无限有着本质的不同，但它们之间又有联系。 例如，在极限an=a中，随着n的增大an无限趋于a，无限变化的an可以通过有限量a来表明它的变化趋势，有限量a又可借助无限变化的an来进行认识，这样的对立体现了局部的有限性与整体的无限性。因此，在极限思想中，无限是有限的发展，有限是无限的结果，二者可以转化统一。

（三）近似与精确的转化统一

近似与精确的转化是数学应用于实际运算的重要诀窍。例如，刘徽的“割圆术”，通过不断倍增圆内接正多边形的边数，正多边形的面积就逐渐转化为圆的面积，从而实现由近似到精确的矛盾转化，进而求出圆周率。

四、通过对极限数学史的学习，提高创新性意识

极限理论的创立过程充满了我们难以想象的艰辛，一代代数学家经过不懈的努力，克服重重的困难，最终建立起了完善的极限系统理论。这些伟大的数学家的创新精神值得我们学习。我国古代数学家在极限研究方面做出了很大贡献。

我国魏晋数学家刘徽发明的“割圆术”是中国古代极限思想的典范。刘徽为证明《九章算术》“圆田术问题”，推导的圆面积计算公式“半周半径相乘得积步”这一结论，创造出了著名的“割圆术”，在极限思想的启发下，提出“化圆为方”的基本思想：他从圆内接六边形出发，将边数依次加倍，一直推算到内接正192边形，并逐次计算得到正多边形的周长和面积，刘徽指出，随着分割的不断细密，当达到极限状态时，内接多边形与圆便重合，在此基础上得到圆周率的近似值为π≈3.14，这即是我们所说的徽率，这是当时世界上最准确的圆周率值。

南北朝的祖冲之又在此基础上取得新成就。祖冲之自幼刻苦，对数学有着浓厚的兴趣，他在研究过刘徽“割圆术”之后，又通过自己的创新，得到圆周率在3.1415926与3.1415927之间，成为当时世界上最早计算圆周率精确到6位小数的人，这是他最突出的研究成果。1100年以后，德国数学家奥托才得出如此精确的结果。祖冲之的计算结果非常精密，用他的密率来计算半径十公里圆的面积误差仅有几平方毫米。祖冲之如何得到这么精确的结果，由于他的著作失传，我们已无法了解。但是很显然若是没有严谨的论证、完善的推导，是不可能有如此辉煌的成就的。更为可贵的是，在那个信息非常闭塞，计算具非常落后，资料非常缺少的年代，完成这样的研究，工作量会是多么的巨大！这让现代人感到十分震惊！

综上所述，极限学习不仅是让学生获得数学知识，更重要的是让学生体会数学思维与方法，提高思维能力，体会极限中蕴含的人文精神，促进全面发展。因此，我们在学习时要认真把握，善于思考，这样才能把数学学好，学得有意义。

参考文献：

[1]耿恒考，王宗信.学生的数学学习能力在不断探究中提升[J].数学通报，2016，（9）.

[2]胡先富. 在极限的教学中谈学生数学素质的培养[J].数学通报，2008，（8）.

[3]陶振乾.极限概念的源流及其文化性探析[D].华中师范大学，2015.