连续时间二次最优控制问题

冀鹏飞

山东科技大学 山东青岛 266000

在工程中，我们往往关注的是一个系统的渐近、Lyapunov稳定等稳定性行为，其中以研究渐近稳定居多。在大多数情况下渐近稳定能够满足工程的需求。但是渐近稳定也有其缺陷,比如渐近稳定刻画的是一个系统的稳定状态而不是暂时状态，因此在有些方面渐近稳定缺乏其应用性。在实际生活中，有些工程的系统工作周期比较短，比如导弹系统，神经网络控制系统等。因此短时间稳定系统的研究越来越受到人们的关注.Kamenkov于1953年首先提出有闲时间稳定这个概念1961年Dorato提出了短时间稳定的定义(即后来研究的有限时间稳定的定义),并且提出了有限时间控制问题。这以后，有限时间控制问题的研究内容与范围逐渐加深与扩大，系统的短暂性性能随之被研究，并且收到了广大学者的关注。1969年Michel和wu在已有的许多研究成果之上把有限时间稳定从连续时间推广到离散时间。

本文利用凸分析的拉格朗日乘子定理研究带终端的随机线性二次最优控制问题，并且将平均场理论应用到最优控制问题中，可以最大限度的减小噪声对系统的影响，并能方便的处理噪声方面的问题。同时验证了平均区域随机二次最优控制问题存在线性反馈最优解的必要条件，其结果可以看作是平均场连续时间随机二次最优控制问题的推广。

文章剩余部分组织如下，第一部分给出一些定义和预备知识。第二部分展示了我们的主要定理，通过 Frehet差分方程验证控制问题存在最优解的必要条件，第三部分为文章总结。

定义1.1设X为向量空间，Y为赋范线性空间，T为X到Y的变换，对x，如果下面极限

定理1.2考虑以下形式的平均区域连续时间系统：

本文主要研究了平均场线性二次最优控制问题。借助于拉格朗日乘子定理，我们给出了该问题存在最优解的必要条件，并计算出了状态反馈最优解。将平均场理论应用到最优控制问题中，可以最大限度的减小噪声对系统的影响并能方便的处理噪声问题。最后通过一个数值例子验证了结论的正确性。

参考文献：

[1]么彩莲,王涛.模型自由的离散时间系统的随机线性二次最优控制问题[J].辽宁石油化工大学学报,2016,36(6):64-68.

[2]肖云鹏,李松阳,刘宴兵.一种基于社交影响力和平均场理论的信息传播动力学模型[J].物理学报,2017,66(3):1-13.

[3]闫晶晶,宋金玉.时变线性系统的有限时间控制问题[J].河南工程学院学报(自然科学版),2009,21(2):45-47.