对一道解析几何把关题的思考与探究

☉浙江省龙游中学 尹丽娟

对一道解析几何把关题的思考与探究

☉浙江省龙游中学 尹丽娟

一、试题背景

这道试题是2014年高频率出现在各校高考模拟试卷上的一道题目.我校在高二期末复习解析几何时，又将此题“重现江湖”，其威力依然不减，撂倒一片，班中只有寥寥几位学生答对此题.事后我分别询问了这几位同学是如何解答的，令人遗憾的是，他们竟然都使用了“蒙猜结合”法.笔者一开始也只给出了下述的解法1，其他的解法思路受阻，便去向同事请教，结果同事给出的解法都是冗长复杂的计算，这不禁引起笔者的高度关注和思考：这道题是否真的需要这样“小题大做”？

二、解法探究

此种解法简洁直观，但是在平时授课时只是简单提到圆锥曲线的第二定义，并未作深入研究与拓展，所以学生便无从得知双曲线的焦半径公式，只能另觅他法.

解法2（平面几何方法）：如图1，结合双曲线呈中心对称这一性质，延长PO交双曲线于P′点，则易知|PO|= |OP′|，再以F1点为圆心，PF2长为半径作圆，此圆与PF1所在的直线分别交于B，C两点，与PP′所在的直线交于A，则易得|PC|=|PF1|+|PF2|，|PB|=|PF1|-|PF2|=2a，|PP′|= 2|OP|，且PC与PP′为圆的两条割线，则由圆的割线定理可得

图1

（1）（|PF1|+|PF2|）2+（|PF1|-|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）；

（2）（|PF1|+|PF2|）2-（|PF1|-|PF2|2=4|PF1|·|PF2|.

所以只要求得|PF1|2+|PF2|2或|PF1|·|PF2|的关于|OP|的表达式，便可将分子分母中的变量统一.

又由平行四边形的对角线公式可知，

三、进一步探究

笔者作了如下推理：

四、类比探究

类比双曲线，在椭圆中是否有类似结论，经推理运算，得到如下结论：

五、结论应用

例1（2014年稽阳联考文9）已知F1，F2是椭圆C1：+=1与双曲线C的公共焦点，点P是曲线C与C的一个

212公共点，且|=（其中点O为坐标原点），则双曲线C2离心率为________.

六、结束语

著名数学家波利亚说过：没有任何一个题目是彻底完成了的，总还会有些事情可以做；在经过充分的研究和观察以后，我们可以将任何解题方法加以改进；深化对此题的理解和感受，或许这道题有更优雅、精妙的解法等待我们去发现.

1.方志平.数量积的一个变形公式及其应用［J］.中学数学研究，2013（1）.

2.金玉明.借一道高考题谈核心素养中的数学运算［J］.中学数学（上），2016（12）.

3.孙海建.一道课本习题的深入探究［J］.中学数学（上），2016（11）.