一次有关椭圆离心率的探索之旅

☉江苏省张家港高级中学 袁志强

一次有关椭圆离心率的探索之旅

☉江苏省张家港高级中学 袁志强

众所周知，椭圆离心率是椭圆的重要几何性质，离心率大小决定了椭圆的扁平程度，当离心率e从0经过变化到1时，椭圆内部发生了一系列优美的变化，呈现出许多有趣的性质.将这些有趣的性质设计成一节探究性学习课，让学生探索其中的内在性质，不仅可以加深学生对椭圆几何性质的理解与掌握，还可以培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，同时在归纳探究中体会椭圆几何性质的奇异美、内在美，在享受美的过程中实现情感体验.通过椭圆及其性质的前期学习，学生对椭圆离心率有了初步的认识，但离心率e从0经过变化到1时，椭圆内部发生的一系列优美的变化，学生却知之较少或不成体系，有待于深化提高.

本课知识目标：在准确理解椭圆离心率与椭圆关系的基础上，掌握离心率e从0经过变化到1时，与椭圆长短轴长、焦距、准线间距离有关的特殊的几何性质；进一步掌握椭圆离心率有关的角度关系、位置关系、弦长最值、焦点弦三角形等问题的处理方法.本课采用的教学方法：“问题诱导—启发讨论—探索结果”及“感知观察—归纳猜证—总结规律”的一种探究性教学方法，注重“引”、“思”、“探”、“练”的结合.基本环节：①课前准备——搭脚手架，②创设情境——研讨交流，③深入探究——解决问题，④联想变形——扩大战果.

第一阶段：课前准备——搭脚手架

课前教师设计一组问题，并将学生分成若干小组.要求学生以小组为单位进行合作预习，预习时若难易直接获得结果，可利用《几何画板》边实验边观察边分析，大胆地猜测结果，并制作成一个2至3分钟的小课件.

问题1设椭圆离心率为e，长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a，b，c，则e从0经过变化到1时，a，b，c之间有怎样的大小关系？a与b又有怎样的大小关系？

问题2设A，B是焦点在x轴上的椭圆长轴和短轴的一个端点，F1和F2是两焦点，PF2⊥x轴，则离心率e从0经过变化到1时，∠BAO与∠POF2大小关系如何？

问题3以F1F2为直径的圆为⊙O，则离心率e从0经过变化到1时，椭圆与⊙O有几个公共点？

问题4设椭圆离心率为e，以OA（A为长轴的一个端点）为直径的圆为⊙O，则离心率e从0经过变化到1时，椭圆与⊙O有几个公共点？

设计意图：利用奥苏贝尔“先行组织原理”组织教学，通过课前预习教学内容，让学生初步尝试观察与猜想的过程，鼓励学生有效运用教学媒体，实现的知识主动建构，提高创新能力和动手操作能力，在进行探究的过程中培养学生的创新意识和良好的个性品质，提高学习效率，学会了合作、学会了探究.预期效果是学生初步解答4个问题或初步掌握解题方向.

第二阶段：创设情境——研讨交流

教师首先演示随离心率e变化的一般圆锥曲线动态图，让学生感知当离心率e从0向+∞逐渐变化时，动点轨迹随着从圆到椭圆到抛物线再到双曲线的变化过程，既看到了量变引起质变，有限跨向无限的生动历程，又领略了离心率的奇妙功能，在此基础上点明本节课的研究课题.其次让学生交流预习结果，教师视学生交流情况组织教学，必要时灵活选择以下方法给予支撑.

学生极易发现结论1：

图1

学生不难猜想出结论3：

学生能够猜想出结论4：

验证的方法仍是解方程组法.

设计意图：进一步让学生感悟某些特殊圆与椭圆的内在关系，为后续探究作好铺垫.第二阶段整个设计是个生成性设计，主要为学生创设了研讨交流的平台.引导学生利用现代教育技术手段自行获取有关知识，鼓励学生大胆地用直觉去寻找解决问题策略.预期效果是学生顺利完成4个问题解答.

第三阶段：深入探究——解决问题

验证方法同上，只不过要注意到，由PA⊥PB知，OAPB是正方形，|PO|=

设计意图：其一是让学生能自主发现类似于上述的结论，其二是通过深入的观察、分析，培养学生猜想验证能力及联想挖掘能力，不断地渗透分类讨论的思想.在此过程中学生可能出现困难，必要时教师可从观念和方法的高度激活学生的思维，帮助学生选择解决问题的思维策略和模式，寻找问题解决的入口处，整个探究过程教师应及时调控，验证要详略得当，必要时可留给学生课外练习.预期效果是学生在教师的引导下顺利解答问题5、6.

第四阶段：联想变形——扩大战果

本教学设计使用多媒体课件，引导学生参与数学探究，是学科内研究性教学的一次有益尝试，学生在探究的过程中，不仅学到数学知识以及蕴涵其中的数学思想方法，更重要的是体验了数学知识的内在联系和内在美，领悟了数学探究的基本方法.

1.罗东荣.椭圆与离心率相关的几类最值［J］.数学通讯，2012，10.

2.屠新民.关于曲线的离心率［J］.数学通讯，2014，3.

3.易文峰.例说椭圆离心率的背景探求.［J］数学教学研究，2013，5.