本是同根生，如此奇异争——2016年高考北京卷两道解析几何试题的探究与思考

☉甘肃天水市一中 宫前长

本是同根生，如此奇异争
——2016年高考北京卷两道解析几何试题的探究与思考

☉甘肃天水市一中 宫前长

一、例题呈现

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|·|BM|为定值.

（1）求椭圆C的方程及离心率；

（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.

二、试题特征剖析

上述文、理试题的设置背景都是基于一个椭圆（根），只是给出椭圆的标准方程的求解方式不同而已，最终所得的椭圆方程都是+y2=1，命题老师主要考虑到文、理学生的学习层次和理解程度的差异，命制不同方式，让每一位学生都能够求出椭圆的标准方程；文、理题目均设置具有递进结构的两个小问，力求注重基础，稳中求变，通过第（2）问的细节来控制试题的难度，完全符合新课标的要求和数学教学理念，是北京卷中难度较大的一道好题.

例题1、2的条件给出的椭圆的标准方程结构表明在焦点在x轴上，如何求其方程呢？例题1的第（1）问需要借助离心率和三角形的面积公式，利用方程组求得椭圆的标准方程，但例题2是给出椭圆的两个顶点坐标，可以直接写出椭圆的标准方程和离心率，比起例题1的第（1）问简单多了，属于送分小题，也符合文科学生学习解析几何的心理要求.

接着观察第（2）问，发现意味深长的命题特征：理科“P是椭圆C上一点”表征“点P的任意性”，而文科“P为第三象限内一点且在椭圆C上”表征“点P的确定性”，第（2）问考查相同方向下不同的是“目的地”：例题1是证明“|AN|·|BM|为定值”，例题2是证明“四边形ABNM的面积为定值”（一个是线段积为定值，一个是面积为定值）.

从所需“证明”的表征上看，证明“|AN|·|BM|为定值”属于特殊线段（非弦长）的积，运算繁，难度较大；而证明“四边形ABNM的面积为定值”属于通过计算四边形的面积说明定值，学生容易想到“对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半”进行解题，入手宽，难度适中，文科学生容易接受和理解.因此，命题人考虑到了文、理科学生的学习特征和学习能力，也让每一位学生从心理上消除了对解析几何中“定值”问题的顾虑，让每一位学生的解题能力都得到了充分的发挥，有效地落实了新课标的理念.

三、解法探究

（一）例题1解法探究

1.思路

2.解题时要明确“目标”

根据已知条件分别求出|AN|，|BM|的值，求其乘积为定值.采用“设而不求”的策略解题时，一定要注意条件中的“点P”具有“任意性”（点P不确定），往往会引起相应的分类讨论.因此，对点P的坐标采用“设而不求”的策略，具体设置方法有两种：代数式坐标P（x0，y0）和参数式坐标P（2cosθ，sinθ）.

思路1（直接求解的视角）：先设出椭圆上的一点P的坐标（x0，y0），再根据直线与坐标轴相交，求得交点坐标，利用两点间的距离公式求得|BM|，|AN|的值，进而求得|AN|·|BM|的积是一个与x0，y0无关的常数.

解法1：由（1）可知，A（2，0），B（0，1），设P（x0，y0），则x2

0+4y2

0=4.

当x0≠0时，直线PA的方程：y=y0

x0-2（x-2）.令x=0，计算得yM=-2y0x0-2，从而|BM|=|1-yM|=1--2y0x0-2

（）=1+2y0

x0-2

.直线PB的方程：y=y0-1 x x+1.令y=0，计算得xN=-x0y0-

0 1，从而|AN|=|2-xN|=2+x0y0-1

.因此，|AN|·|BM|=1+2y0x0-2 ·2+x0

y0-1

=x2

0+4y20+4x0y0-4x0-8y0+4 x0y0-x0-2y0+2 =4.

当x0=0时，y0=-1，|BM|=2，|AN|=2，则|AN|·|BM|=4.

综上所述，|AN|·|BM|为定值.

点评：解法1的关键是发现x0，y0的关系，通过化简|AN|·|BM|（含x0，y0）的代数式，得到一个与x0，y0无关的常数即可得证，还要注意对特殊位置（x0=0）这一情况的处理.

思路2（参数方程的视角）：利用椭圆的参数方程，即可设出椭圆上的一点P的坐标为（2cosθ，sinθ），再想办法求得|BM|，|AN|的值，进而求得|AN|·|BM|的值是一个与θ无关的常数.由于参数θ的任意性，解题时不像解法1进行分类讨论了

解法2：由（1）可知，A（2，0），B（0，1），设P（2cosθ，sinθ），

直线PA的方程：y=sinθ 2cosθ-=4x0y0-4x0-8y0+8

x0y0-x0-2y0+2 θ，从而可得点M的坐标0，sinθ

1-cosθ 2（x-2）.令x=0，计算得yM=sinθ 1-cos

（）.

故|BM|=|1-yM|=1-sinθ 1-cosθ

.直线PB的方程：y=sinθ-1 2cos θx+1.令y=0，计算得xN=2cosθ 1-sin

（）θ，从而可得点N的坐标2cosθ 1-sinθ，

0.故|AN|=|2-xN|=2-2cosθ 1-sinθ

.因此，|AN|·|BM|=1-sinθ 1-cosθ ·2-2cosθ

1-sinθ =2（1-sinθ-cosθ）2

（1-sinθ）（1-cosθ

）

.

又因为（1-sinθ-cosθ）2=2（1-sinθ-cosθ+sinθcosθ）= 2（1-sinθ）（1-cosθ），可得|AN|·|BM|=4.

故|AN|·|BM|为定值.

点评：解法2将点P的坐标设为参数形式，解题策略仍是采用点P的坐标“设而不求”，其他的思路、方法与解法1一样不变，同样可以算出|AN|·|BM|的值为定值.

思路3（利用仿射变换的视角）利用椭圆与圆的仿射关系（人教A版），将椭圆问题转化为圆的相关问题，这也是解决椭圆问题的基本方法.对于此题，只需要通过椭圆的仿射变换，证明圆中相应的线段之积是一个常数即可说明：|AN|·|BM|为定值.

解法3：根据（1）的椭圆方程：x24+y2=1，变形为x2+ 4y2=4可知通过仿射变换为x′=x，y′=2y｛，椭圆转化为圆：x′2+ y′2=4.也就是说：将椭圆x2

y

B0

2|B0M0|=2，

在圆中，可得∠B0MA=∠P0B0M0+∠B0P0A=∠P0B0M0+∠AB0M0=∠P0B0A，且∠NAB0=∠AB0M0，

所以△ANB0∽△AB0M0，所以|AN|

|AB04+y2=1上的所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的两倍，得到圆x′2+y′2=4，此时圆心就是椭圆的中心，椭圆上的点P对应圆上的点P0，圆与x轴的交点恰好就是椭圆的左右顶点，圆与y轴的交点B0，M0分别对应椭圆中的点B，M.

根据圆的对称性和仿射

变换的性质，可得|OM0|=2|OM|=

2，|BM|=1

N

B

A

O

x

PM

P0

M0

图1 |，从而|AN|·|B0M0|=|AB0|2=8，

故|AN|·|BM|=4，即|AN|·|BM|为定值.

思路4（斜率、向量的视角）根据三点共线，转化为斜率相等或向量共线来进一步证明|AN|·|BM|为定值. |=|AB0| |B0M0

化简得［mn-（m+2n）］2=4，

即mn-（m+2n）=2或mn-（m+2n）=-2.

又因为|AN|·|BM|=|2-m|·|1-n|=|2+mn-（m+2n）|=4或|AN|·|BM|=0（舍去），

故|AN|·|BM|为定值.

（二）例题2的解法探究

第（1）问从条件可得a=2，b=1，很容易地得到椭圆的标准方程下面主要对第（2）问的解法探究：题设所涉及的四边形的对角线恰好垂直，根据“对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半”可得四边形的面积就是例题1第（2）结论的“一半”，即S四边形ABNM=|AN||BM|=2.从这一点上看，例题1、2明显地露出了“一根（椭圆）两支花（线段之积，面积为定值）”，命题人巧妙地设置“证明”；分离两个“目标”：“|AN·||BM|为定值”、“四边形ABNM的面积为定值”.

对四边形ABNM的面积的计算，可用上述方法求得（如解法1）；从其他视角进行探究：利用等面积法求得|AN|和|MB|的值（解法2）或利用“等价转化”的方式计算所求四边形的面积（如解法3）.

思路1（参数方程的视角）：根据椭圆的参数方程，设出点P的坐标（2cosθ，sinθ），再计算出|AN|和|BM|的长度，根据“对角线互相垂直的四边形的面积就是对角线乘积的一半”可求得四边形ABNM的面积.

解法1：因为A（2，0），B（0，1），根据（1）知，可设P（2cosθ，sinθ）.

四边形ABNM的对角线互相垂直，所以四边形ABNM的面积：

又因为（1-sinθ-cosθ）2=2（1-sinθ-cosθ+sinθcosθ）= 2（1-sinθ）（1-cosθ），可得SABNM=2.

故四边形ABNM的面积是2.

解法2：根据题意可求得直线AB的方程：x+2y-2=0，由（1）可知，设P（2cosθ，sinθ），

所以三角形PAB的面积：

其中|dP-AN+dB-AN|=|1-sinθ|，|dA-BM+dP-BM|=2|1-cosθ|，

下面依据解法1可以求得故四边形ABNM的面积：SABNM=2.

思路3（等价转化的视角）：要证明四边形ABNM的面积是定值，从图形结构教育猜想，四边形ABNM的面积可能与三角形A1AB的面积一样，只需证明即可.

解法3：根据题意，证明四边形ABNM的面积与△A1AB的面积相等，也就是证明△A1BN与△ANM的面积相等.

+ y2=1，其左顶点A（1-2，0），直线PB的斜率k是存在的，且k＞0，则直线PB的方程：y=kx+1（k＞0），

图2

容易求得点P的横、纵坐标，

再由直线PB的方程：y=kx+1（k＞0），解得点N的横坐标：xN=-

从而有S△A1BN=S△ANM，说明三角形A1BN的面积与三角形ANM的面积相等，即四边形ABNM的面积与三角形A1AB的面积相等，因此，

ABNM△A1AB值）.

四、一般化探究

根据两道例题的特征剖析和解法探究，进行一般化处理，可得下面的问题：

试问：（1）|AN|·|BM|为定值？

（2）若点P为第三象限内一点且在椭圆C上，四边形ABNM的面积为定值？

由于P是椭圆C上一点，对点P的位置进行分类：

当x0=0时，y0=-b，此时|BM|=2b，|AN|=a，所以|AN|· |BM|=2ab（定值）.显然|AN|·|BM|为定值，四边形ABNM的面积：S=ab（定值）.

（2）因为点P为第三象限内一点且在椭圆C上，根据“对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半”，可得S四边形ABNM=|AN||BM|=ab（定值）.

综上所述，|AN·||BM|为定值2ab，并且四边形ABNM的面积为定值ab.

此时可知，点P在椭圆的其他位置时，四边形ABNM不一定是凸四边形，情况比较复杂，需要分类讨论.

五、反思

1.重视思辨，多维设想

对于高考题，一定要多联系、多思考，寻找问题间的共性和差异，建立完整的数学概念体系，才能够厘清数学题中概念与其他数学知识之间的联系，才有可能做到整体把握、准确定位.2016年北京卷的两道解析几何试题，放在一起研究，通过思辨，就会暴露出很清晰的命题思路、考查的目标要求，试题虽然“寻常”，但其教学“导向”韵味深长.

2.目标引领，重点突破

例题1、2突出考查了学生分析和解决问题、推理论证的能力，在考查数学思想方法的同时，关注数学各部分内容的知识与相互关联，引领教师在教与学的过程中，多关注思想方法、强调能力立意，加深对数学的认识和本质的理解，起到了正导向的作用.

对于解决定值、定点问题，从问题的整体上把握、应用解题策略.如解决定值、定点问题的方法：（1）从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.解题过程中，一定要注意到“繁”“难”的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.唯有如此，方可突破难点——定值、定点问题.

总之，在平时解题训练的过程中，学生要多思考题目条件和所问之间的联系，从设问方法入手多总结，才能在解题的过程中不断提升，即使难度增加，解题时也会得心应手.