数形结合思想在三角函数中的应用

吴怿晨

摘要：数与形是现代数学体系中的基础概念，在解决高中实际数学问题时，常常通过观察几何图形去解决代数问题，而几何问题也能通过代数方法思考，因此“数形结合”的思想是数学中常用的技巧。三角函数是高中数学知识体系中较为抽象的内容，在学习和理解时面临着许多困难和挑战，而通过数形结合的思想，能将抽象概念与具象图形联系起来，从而让三角函数解析过程化难为易。

关键词：数形结合思想 三角函数 高中数学 应用

高中数学三角函数这一章节是大部分同学学习过程中的难点内容，函数解析式和函数值大小比较让很多人头痛，在学习这些知识时很多人无法领悟到抽象概念，做题几乎处于模糊状态。其原因与不理解三角函数图像有关，以下将结合具体例题，通过数形结合思想解决三角函数的学习问题。

一、数形结合思想概述

我国数学界泰斗华罗庚曾针对数形结合思想作了一首著名的诗：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”所谓数形结合思想，就是以数学问题的提出条件与结论之间的内在联系为依据，对其代数与几何意义进行分析，将数量关系与空间形式巧妙结合起来，并在此基础上寻求解题之道的思想。“数”与“形”分别反应了事物一体两面的属性，具有整体意义，若单独强调其中的某一项是没有实际意义的。在高中数学三角函数的学习过程中，数形结合的主要应用就是将函数图像应用到解题过程中，达到以形求数或以数化形的目的。

二、数形结合思想在高中三角函数解题中的具体应用

在三角函数的学习过程中，重難点主要存在于对函数公式的记忆、对函数值正负号的确认、函数值大小比较、定义域区间以及方程求根个数，在解题过程中只要能灵活运用数形结合的思想，通过画出函数图象辅助解题，并结合注意观察象限就能一目了然的得出正确结果。

（一）函数定义域求解

在求解三角函数定义域过程中，数形结合思想主要是通过对函数特点进行分析，在保证函数式各部分均存在意义的前提下，列出对应的不等式，解析不等式后，取各个不等式的∩。具体解法包括单位圆法和函数图象法两种数形结合方法，前者是在单位圆中画出对应的角，再标出边界三角函数，取重叠区域；后者是在函数图象中寻求符合条件的边界角，再写出相应集合。

三、结语

综上，数形结合思想的实质在于代数与几何问题的相互转化，这就要求我们在平时注意总结三角函数的常用图象、抛物线图形以及各自的表示，并将其灵活运用到具体的解析式当中，从而加深对三角函数的理解，提升解题能力。

参考文献：

[1]朱亚彦.浅谈数形结合思想在三角函数中的运用[J].新校园（上旬刊），2015，（05）.

[2]高照福.数形结合思想在中学三角函数中的应用[J].数理化学习（高一二版），2014，（04）.

[3]姜勇钢.思想方法在解三角函数题中的运用[J].中学生数理化（尝试创新版），2014，（05）.

[4]赖文敏.“数形结合法”于高中三角函数数学的应用例析[J].高考：综合版，2015，（10）.

（作者单位：湖南省长沙市第一中学）