例谈HPM视角下的初中数学教学设计

张玉萍

[摘 要] HPM是基于历史相似性原理和建构主义理论对数学史进行研究，以期提升数学教学质量. 本文在研究相关理论的基础上，结合实例介绍了HPM视角下初中数学教学设计的具体操作.

[关键词] HPM；数学史；理论基础；教学设计

HPM是“History and Pedagogy of Mathematics”的简称，这是一个诞生于20世紀七十年代的学术领域，其研究目标是研究数学史，提升数学教育的质量. HPM所研究的问题包括：数学史的课程设立；数学史的内容关联；数学史与数学教学的关系；数学史对教师的影响；数学史在文化渗透中的作用和地位等. 由此可见，HPM的价值受到越来越多的关注，其在教学实践中的运用也日益受到重视.

HPM的理论基础

（一）历史相似性原理

英国学者斯宾塞指出，个体知识的形成与人类知识的演变历程是统一的，历史上知识的创生过程就是今天教育的方向. 这一段论述就是讲个体的数学认识要遵循数学历史的发展过程，该观点获得克莱因、庞加莱、卡托斯等数学家的支持. 他们主张学生的认识过程与数学的发展历程有着严格的相似性，指出数学史能帮助学生解决数学学习的难题，这就是历史相似性原理.

从初中数学教学的角度来讲，历史相似性原理给我们提出这样的指导：一方面，帮我们预测并解释学生可能出现的学习困难；另一方面是对教学设计给予建设性的意见. 当依据历史相似性来设计教学时，教师必须意识到学生当前的认知背景与以前的数学家大相径庭，因此我们不能全盘照搬数学史中的知识建构过程，而应该结合教学需要对历史资料进行重构.

（二）建构主义理论

建构主义认为，学生在数学、逻辑或物理等方面的认知过程都属于持续建构的产物，并且要在认知过程中经历同化和顺应等一系列作用，进而实现新的认知平衡. 所有的数学学习都可以结合结构的建构来实施，建构主义学习理论给传统的数学教学理念造成冲击，也为HPM理论在数学教学中的运用提供了支撑.

建构主义理论指导的数学学习过程不应该是被动吸纳接受学习的过程，而应该是学生结合已有认知和经验的积累主动进行建构的过程. 西方研究者在对HPM研究时发现，该理论对数学教学有着重要的推动作用. J·M·Keiser就在教学实验中发现学生理解“角度”的概念和前人发明相关概念的过程是一致的，因此历史上前人探索“角度”概念的有关困难也将为现今的教材编写和教学设计提供指导. 学生数学的学习过程是一个持续建构的过程，数学史会将数学家探索数学规律、建立理论的过程呈现出来，因此，教师在教学中将相关史料渗透到数学教学中，能够帮助学生认清概念、定理、公式等知识的形成和演变过程，进而理解数学知识的来龙去脉，这有助于他们通过对比新、旧知识的联系来获取对新知识更加深刻的认识.

HPM视角下的教学设计案例

结合对HPM理论的研究，笔者对初中数学课堂积极展开实践，下面，笔者以“负数”的教学为例，谈谈自己的教学操作.

（一）创设情境，引入新课

教师引导学生回顾小学阶段已经接触过的数的类型：类似于0，1，2，3，，这些我们现在生活中常见的数字，都是随着人们认识的进步和需要才出现的. 在古代，人们依次经历实物计数、结绳计数、算筹计数等阶段，但是因为使用不便，于是发明1，2，3…这样的数字；为了表示“没有”或“空的”，就发明了“0”；因为计算和测量中出现的数字并非整数，因此发明了分数. 由此可见，数字的产生和改进都是源于人们生活、生产中的需要. 今天，我们一起再来认识一下一种更加神奇的数字——负数.

设计思路 教师围绕学生已经学习过的数字，引导他们简单回顾数字的发展历程，有助于学生在旧知识的基础上建构新认识.

（二）探索研究，形成概念

1. 引出负数的产生缘由

教师提供问题引导学生探究负数的产生：3个小孩要平均分配4个苹果，应该怎么分配？

初中生完成上述问题没有丝毫难度，教师关键是引导学生循着以下思路进行思考：3个小孩平均分配4个苹果，能不能让每个人所得的苹果数是整数？请列方程求解.

学生求解：设每个小孩可分得x个苹果，则根据题意有3x=4，解得x=.

结合求解过程，学生发现每个小孩最终所得的苹果数目并非整数，因为从方程求解来看，它不存在整数解，因此为了让方程由无解变为有解，人们对数系进行了扩充，引入了分数的使用. 这样的做法使得任何两个非零整数的除法都存在解，除法运算也因此更加畅通.

设计思路 引导学生重新体验分数的产生缘由，以此为学生接受负数的概念奠定基础.

教师安排学生继续处理下面两个问题：

（1）张涛带来10元钱，准备去超市买一个足球，到那儿之后发现足球的标价是18元/个，请问张涛还剩多少钱？

（2）小李今天挣了200元，各项支出一共230元，请问小李今天净收入多少钱？

学生很快写出两个式子：（1）10-18；（2）200-230. 写完之后，他们都无法继续下去，教师便启发他们交流彼此的困难. 学生指出：被减数比减数还要小，数字不够减，如果还用小学的知识，这样的问题是无解的，是错误的. 教师这时便鼓励学生，人的视野不应该被陈旧的知识所束缚，可以仿照分数的出现，发明一种新的数字——负数，由此，学生便会认识到负数的意义：引入负数之后，任意大小的数字都能随意相减，数系再一次被扩充.

设计意图 结合具体的问题，创设情境让学生感受到囿于原有认知的困境，进而产生扩充数系的需要，负数的概念由此引入便水到渠成，学生的认知上没有任何违和感.

2. 负数的表示

教师提供问题，引导学生学习负数的表示方法.

问题：今年初春，哈尔滨的平均气温为零下5℃，北京的平均气温是2℃，上海的平均气温为5℃. 请问上海的平均气温比北京的气温高多少？上海的气温比哈尔滨的气温高多少？

学生用减法来处理上述问题：上海气温-北京气温=5-2=3（℃）；上海气温-哈尔滨气温=5-5=0（℃）. 问题来了，哈尔滨和上海的气温相差为0，莫非两地温度一样？这肯定是错误的，那问题出在哪里呢？教师让学生进行讨论，他们在讨论中很快发现问题的所在，两个5℃的含义不同，必须进行区分. 那怎么办呢？此时学生对负数的表示产生了心理需求.

设计思路 教师以问题为引导，在问题处理中酝酿冲突，由此激起学生对负数表示方法的学习需求，强化了他们的学习动机.

为满足学生的需求，教师开始讲解：数学上一般将大于0的数字定义为正数，而将小于0（零以下）的数字定义为负数，在其前方添加一个负号“-”以示区别，例如正数“1”变成负数就是“-1”，当然有时候为了强调正数，也在正数前方加一个“+”号.

设计思路 教师对历史上负数的发现过程进行重构，以不露痕迹的方式融入教学，让学生在看似随意的过程中体验负数的建构.

教师进一步补充：运用“+”“-”来区分正负数是属于近代数学的表示方法，据史料记载，早在1700多年前，我国魏晋时代的数学家刘徽就提出了正负数的表示方法：“今两算得失相反，要令正负以名之. ”这就是说，为了对计算出来相反意义的数字进行区分，可以用正数与负数的方式进行表述. 当时，他是以算筹的颜色表征正负的：“正算赤，负算黑”，即正数用红色算筹表征，负数则用黑色算筹进行表征.

设计思路 介绍中国古代负数的表示方式，让学生感受前人的智慧，由此激活学生的求知欲.

（三）例题讲解，活化认知

教师提供例题：某天的天气预报显示，与今天相比，上海明天的气温会增加2℃；北京明天的气温会下降1℃；天津今明两天的温度没有变化. 请写出上海、北京、天津三地明天的气温会上升多少.

学生结合本课所学进行解答：上海、北京和天津三地气温分别上升2℃、-1℃、0℃.

设计思路 教师设计问题，引导学生运用所学解决问题，在知识迁移的过程中加深认识.

（四）课堂小结，作业布置

教师引导学生进行课堂小结，本课所学内容包括：（1）负数提出的缘由；（2）负数的概念及其表示，随后布置课后巩固练习.