与正整数n-color有序分拆相关的一些恒等式

郭 育 红

( 河西学院 数学与统计学院， 甘肃 张掖 734000 )

与正整数n-color有序分拆相关的一些恒等式

郭 育 红*

( 河西学院 数学与统计学院， 甘肃 张掖 734000 )

首先给出了正整数自反的n-color有序分拆数与Fibonacci数、Lucas数之间的几个关系式．然后利用其中的一个关系式给出了正整数ν的右端分部量不等于11的n-color有序分拆数与正整数的分部量是1、2的有序分拆数、分部量是奇数的有序分拆数、分部量大于1的有序分拆数之间的一些恒等式，并给出了组合证明．

n-color有序分拆；Fibonacci数；Lucas数；恒等式；组合证明

0 引 言

在整数分拆理论中，MacMahon[1]第一次定义了正整数的有序分拆，即在正整数的分拆中考虑了分部量的次序．例如，3的无序分拆有3，2+1，1+1+1共3个；而3的有序分拆有3，2+1，1+2，1+1+1共4个．Agarwal等在文献[2]中拓广了正整数无序分拆的概念，给出了正整数的n-color无序分拆．即在正整数ν的无序分拆中对于每一个分部量n着n种不同的颜色．他们将这n种颜色用下标表示为n1，n2，…，nn．例如，3的n-color无序分拆有31，32，33，21+11，22+11，11+11+11共6个．在2000年，Agarwal[3]又定义了n-color有序分拆．例如，3有8个n-color有序分拆：31，32，33，21+11，22+11，11+21，11+22，11+11+11．并在文献[3]中给出：ν的n-color有序分拆数等于第2ν个Fibonacci数，即C(ν)=F2ν．近年来，对于正整数的n-color有序分拆产生了许多研究成果[3-7]．

2006年，Narang等在文献[8]中又定义了自反的n-color有序分拆，并给出了自反的n-color有序分拆的相关性质．他们在文献[8]中还给出了奇数2ν+1的自反的有序分拆数等于第2ν+1个Lucas数L2ν+1，即A2ν+1=L2ν+1．在文献[8]中同样给出了偶数2ν的自反的n-color有序分拆数等于3倍的ν的n-color有序分拆数，即A2ν=3C(ν)．

而本文作者又将n-color有序分拆的分部量做了约束，研究了自反的n-color偶有序分拆[9]、自反的n-color奇有序分拆[10]．同时还研究了自反的n-color有序分拆与n-color有序分拆之间的关系，在文献[11-12]中给出了关于奇数2ν+1的自反的n-color有序分拆数、偶数2ν的自反的n-color有序分拆数与ν的n-color有序分拆数之间的关系式．

2013年，Shapcott在文献[13]中给出了正整数的n-color有序分拆的一种符号表示，他利用一串符号“×”和“-”表示正整数的n-color有序分拆，即对于分部量λi，1≤i≤λ，用一串含有λ-1个“-”和一个“×”来表示，其中“×”所在的第i个位置表示分部量着第i种颜色；而两个分部量之间用一个“×”分割．例如，n-color有序分拆21+11可表示成“-×××”．利用这种“×”和“-”表示，Shapcott建立了正整数的n-color有序分拆数与分部量是1或2的称为1-2有序分拆的分拆数、分部量是奇数的称为奇有序分拆的分拆数、分部量大于1的有序分拆数之间的一些恒等式．Shapcott在文献[14]中将正整数ν的n-color有序分拆做了推广，给出了分部量和着色集都是任意非负整数集上的C-color有序分拆，并且给出了关于自反的n-color有序分拆数与Fibonacci数Fn之间的一个结果．

最近，文献[12]又给出了关于正整数的自反的n-color有序分拆数与偶数个Fibonacci数F2n、奇数个Lucas数L2n+1之间的关系式，并讨论了与自反的n-color有序分拆相关的一些恒等式．

本文将进一步研究正整数ν的自反的n-color有序分拆数与奇数个Fibonacci数F2n+1、偶数个Lucas数L2n之间的关系式，并进而讨论正整数ν的右端分部量不等于11的n-color有序分拆数与正整数的1-2有序分拆数、奇有序分拆数、分部量大于1的有序分拆数之间的一些恒等式．

1 定义和引理

1.1 定 义

定义1[8]如果正整数的一个n-color有序分拆的分部量从左向右读和从右向左读相等，则这个分拆叫自反的n-color有序分拆．

例如，3有4个自反的n-color有序分拆，它们是31，32，33，11+11+11．

定义2[8]Fibonacci数列是指F0=0，F1=1，且满足Fn=Fn-1+Fn-2，n≥2．

定义3[8]Lucas数列是指L0=2，L1=1，且满足Ln=Ln-1+Ln-2，n≥2．

1.2 引 理

引理1[13]正整数ν的n-color有序分拆数等于2ν-1的1-2有序分拆数．

引理2[13]正整数ν的n-color有序分拆数等于2ν的奇有序分拆数．

引理3[13]正整数ν的n-color有序分拆数等于2ν+1的分部量大于1的有序分拆数．

引理4[14]设Aν表示正整数ν的自反的n-color有序分拆数，Fn表示第n个Fibonacci数．则

A2ν+1=F2ν+1+2F2ν

(1)

A2ν=3F2ν

(2)

这里ν>0．

引理5[12]设Aν表示正整数ν的自反的n-color有序分拆数，则

A2ν+2=3A2ν+1-A2ν

(3)

这里ν>0．

2 主要结果

首先给出正整数ν的自反的n-color有序分拆数与Fibonacci数、Lucas数之间的几个关系式．

定理1 设Aν表示正整数ν自反的n-color有序分拆数，Fn表示第n个Fibonacci数，Ln表示第n个Lucas数．则

A2ν+1-A2ν=F2ν-1

(4)

A2ν-A2ν-1=F2ν+1

(5)

A2ν+1-A2ν-1=L2ν

(6)

A2ν+2-A2ν=3F2ν+1

(7)

这里ν>0．

证明 式(4)的证明：由引理4及Fibonacci数的性质有

A2ν+1-A2ν=F2ν+1+2F2ν-3F2ν=F2ν+1-F2ν=F2ν-1

式(5)的证明：由引理5及奇数2ν+1的自反的n-color有序分拆数与Lucas数及Fibonacci数的关系有

A2ν-A2ν-1=3A2ν-1-A2ν-2-A2ν-1= 2A2ν-1-A2ν-2= 2L2ν-1-3F2ν-2= 2(L2ν-1-F2ν-2)-F2ν-2= 2F2ν-F2ν-2=F2ν+1

式(6)的证明：由奇数2ν+1的自反的n-color有序分拆数与Lucas数的关系有

A2ν+1-A2ν-1=L2ν+1-L2ν-1=L2ν

式(7)的证明：由偶数2ν的自反的n-color有序分拆数与Fibonacci数的关系有

A2ν+2-A2ν=3F2ν+2-3F2ν=3F2ν+1

由定理1的式(7)及偶数2ν的自反的n-color有序分拆数与ν的n-color有序分拆数之间的关系，不难得到下面的一个结论，以推论的形式给出．

推论1 设C(ν)表示正整数ν的n-color有序分拆数，Fn表示第n个Fibonacci数，则

C(ν+1)-C(ν)=F2ν+1

(8)

推论1中的C(ν+1)-C(ν)恰好是正整数ν+1的右端分部量不等于11的n-color有序分拆数，再结合Fibonacci数与正整数的1-2有序分拆、奇有序分拆、分部量不等于1的有序分拆之间的关系(引理1～3)，得到下面的几个恒等式．

定理2 正整数ν的右端分部量不等于11的n-color有序分拆数等于2ν-2的1-2有序分拆数．

证明 用类似于Shapcott在文献[13]中的方法证明．对于正整数ν的右端分部量不等于11的任意一个n-color有序分拆α，先写出α的“×”和“-”符号图Γ．由于分拆α的右端分部量不是11，在“×”和“-”符号图Γ中，右端的符号要么是“-”，要么右端连续的两个符号是“-×”．于是做如下变换：若Γ中右端是“-”，将“-”换成“×”；若Γ中右端符号是“-×”，直接将“×”删掉，然后再在新的“-”和“×”符号图中按照从左向右的顺序，将“×”换成1，将“-”换成2．于是就得到了2ν-2的1-2有序分拆．这是因为在ν的含有t个分部量的n-color有序分拆写成的“-”和“×”符号图中有2t-1个“×”，ν-t个“-”．做第一种变换后，“×”的个数增加了一个，即有2t个“×”；而“-”的个数减少了一个，即有ν-t-1个“-”．于是，得到的有序分拆的分部量之和是1×2t+2×(ν-t-1)=2ν-2；做第二种变换后，“×”的个数减少了一个，即有2t-2个“×”，而“-”的个数没变，还是ν-t个，于是，得到的有序分拆的分部量之和是1×(2t-2)+2×(ν-t)=2ν-2．

例如，4的右端分部量不等于11的n-color有序分拆11+11+21产生6的1-2有序分拆1+1+1+1+1+1的过程如下：11+11+21→×××××-→××××××→1+1+1+1+1+1．

显然，上述变换过程是可逆的，故结论成立．

□

以ν=3为例用表1给出定理2中的对应关系．

表1 与1-2有序分拆的对应关系

定理3 正整数ν的右端分部量不等于11的n-color有序分拆数等于2ν-1的奇有序分拆数．

证明 用类似于Shapcott在文献[13]中的方法．对于正整数ν的右端分部量不等于11的任意一个n-color有序分拆α，先写出α的“×”和“-”符号图Γ．由于分拆α的右端分部量不是11，在“×”和“-”符号图Γ中，右端的符号要么是“-”，要么右端连续的两个符号是“-×”．于是做如下变换：若Γ中右端是“-”，将“-”换成“×”；若Γ中右端符号是“-×”，直接将“×”删掉．

例如，4的右端分部量不等于11的n-color有序分拆11+11+21产生7的奇有序分拆1+1+1+1+1+1+1的过程如下：11+11+21→×××××-→××××××→-×-×-×-×-×-×-→1+1+1+1+1+1+1．

显然，上述过程是可逆的，故结论成立．

□

以ν=3为例用表2给出定理3中的对应关系．

表2 与奇有序分拆的对应关系

定理4 正整数ν的右端分部量不等于11的n-color有序分拆数等于2ν的分部量大于1的有序分拆数．

证明 用类似于Shapcott在文献[13]中的方法．对于正整数ν的右端分部量不等于11的任意一个n-color有序分拆α，先写出α的“×”和“-”符号图Γ．由于分拆α的右端分部量不是11，所以在“×”和“-”符号图Γ中，右端的符号要么是“-”，要么右端连续的两个符号是“-×”．于是做如下变换：若Γ中右端符号是“-”，将“-”换成“×”；若Γ中右端符号是“-×”，直接将“×”删掉．

例如，4的右端分部量不等于11的n-color有序分拆11+11+21产生8的分部量大于1有序分拆的过程如下：11+11+21→×××××-→××××××→××××××××→8．上述过程显然是可逆的，故结论成立．

□

以ν=3为例用表3给出定理4中的对应关系．

表3 与分部量大于1的有序分拆的对应关系

3 结 语

本文研究了正整数ν的自反的n-color有序分拆数与奇数个Fibonacci数F2n+1、偶数个Lucas 数L2n之间的关系，给出了几个关系式．利用其中的一个关系式给出了正整数ν的右端分部量不等于11的n-color有序分拆数与正整数的1-2有序分拆数、奇有序分拆数、分部量大于1的有序分拆数之间的一些分拆恒等式，并给出了组合证明．理论上丰富了整数分拆恒等式．

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Some identities related to positive integern-color compositions

GUO Yuhong*

( School of Mathematics and Statistics, Hexi University, Zhangye 734000, China )

Firstly, some relations about the number of the self-inversen-color compositions of positive integer, the Fibonacci number and the Lucas number are given. Furthermore, using one relation, some identities about the number of then-color compositions of positive integerνwithout part 11on the right end, the number of the compositions with parts of size 1 and 2, the number of the compositions with odd parts and the number of the compositions with parts (>1) are obtained. And combinatorial proofs of identities are presented.

n-color compositions; the Fibonacci number; the Lucas number; identity; combinatorial proof

2016-04-28；

2016-11-28．

国家自然科学基金资助项目(11461020).

郭育红*(1970-)，女，硕士，教授，E-mail:gyh7001@163.com.

1000-8608(2017)02-0216-05

O157

A

10.7511/dllgxb201702016