矩阵方程ATXA=C的对称M对称最佳逼近解

徐玉霞，雷英杰，侯 强

(中北大学 理学院，太原 030051)

矩阵方程ATXA=C的对称M对称最佳逼近解

徐玉霞，雷英杰，侯 强

(中北大学 理学院，太原 030051)

在结构动态模型修正中，通常需要修正刚度矩阵与质量矩阵以满足正交条件。通过研究它们的极小二乘逼近解对其进行修正。故在对称M对称矩阵集中，利用标准相关分解(CCD),获得了矩阵方程ATXA=C的对称M对称极小二乘解；在此基础上应用广义奇异值分解(GSVD)和投影定理,得到了给定矩阵的极小二乘解的对称M对称最佳逼近解。

对称M对称矩阵；投影定理；标准相关分解；极小二乘解；最佳逼近解

1 预备知识

定义[1]设M∈Rn×m，若矩阵X∈SRn×n，满足(MTXM)T=MTXM，则称矩阵X为对称M对称矩阵。

矩阵方程ATXA=C来源于振动理论逆问题，这一问题在机械系统和土木工程结构中有实际应用背景[2-3]。比如在修复振动模型中往往需要满足以下正交条件：

ATMA=Im,ATKA=Δ

2 问题1的解

(1)

(2)

其中：Q∈ORm×m是正交阵；M∈Rr×r,N∈R(n-r)×(n-r)是非奇异矩阵。

且

进一步,记

(3)

这里：

(4)

其中F11、G11和Ai4、Fi1、F1i、F4i、Fi4、G4i、Gi4(i=1,2,3,4)是任意矩阵。

(5)

将式(2)～(3)代入式(5)并利用Q的正交性可得

对式(6)求极小二乘解可得:

(8)

而f(aij,fij,gij)是关于aij、fij、gij的凸连续可微函数。故式(8)成立，当且仅当

直接计算可得

将其写成矩阵形式为

从而

最后，将所有极小二乘解代入式(3)则得式(4)，其中F11、G11和Ai4、Fi1、F1i、F4i、Fi4、G4i、Gi4(i=1,2,3,4)是任意矩阵。证毕。

3 问题2的解

由于式(2)中非奇异矩阵M、N不满足Frobenius范数的正交不变性，故直接通过问题1的解无法解决问题2。为了解决问题2，给出以下投影定理：

下面利用定理2将问题2的极小二乘问题转化为求一相容矩阵方程的解的问题。

引理2 给定矩阵A1和A2，如式(2)，令C∈SRm×m，定义矩阵方程

(9)

(10)

那么矩阵方程

(11)

是相容的，且它的解集与矩阵方程(9)的极小二乘解的解集一样。

证明 根据文献[3]的定理4.3可知引理2显然成立。证明完毕。

基于以上引理,将式(2)、(4)代入式(10)，可求得唯一矩阵C0。

接下来，利用GSVD求方程(11)的相容解，此相容解也即非相容矩阵方程(9)的极小二乘解。

矩阵对[A1,A2]的GSVD为A1=UΠ1M,A2=VΠ2M,U∈ORr×r,V∈OR(n-r)×(n-r),M∈Rm×m是一非奇异矩阵，且

(12)

其中:Λ=diag(ξ1,…,ξk1+k2-m),1>ξ1≥…≥ξk1+k2-m>0；Γ=diag(η1,…,ηk1+k2-m),0<η1≤…≤ηk1+k2-m<1,Λ2+Γ2=Ik1+k2-m。

记矩阵UTX11U,UTX12V,VTX22V,M-TC0M-1有如下划分形式：

(13)

定理3 已知列满秩矩阵A∈Rn×m,C∈SRm×m,矩阵UTX11U,UTX12V,VTX22V,M-TC0M-1有式(13)的划分形式，则矩阵方程(11)的相容解(也即非相容方程(9)的极小二乘解)为：

(14)

证明 将式(1)、(4)以及A1、A2代入式(11)并根据W的非奇异性可得

(15)

接下来，将式(12)、(13)代入(15)直接计算可得式(14)。证毕。

(16)

(17)

其中：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

对于式(23)～(25)，采用类似式(7)的处理方法直接计算可得式(19)～(22)。最后将所求得的所有极小二乘解代入式(16)可得式(17)。证明完毕。

4 结束语

[1] 彭向阳,胡锡炎,张磊.矩阵方程的M-对称解[J].数学学报,2006,49(4):941-948.

PENG Xiangyang,HU Xiyan,ZHANG Lei.The M- Symmetric Solution of the Matrix Equation[J].Acta Mathematica Sinica,2006,49(4):941-948.

[2] JOSEPH K T.Inverse eigenvalue problem in structural design[J].Aiaa Journal,2012,30(30):2890-2896.

[3] XU W R,CHEN G L.Inverse problems for (R,S)-symmetric matrices in structural dynamic model updating[J].Computers & Mathematics with Applications,2016,71(5):1074-1088.

[4] YUAN Y,DAI H.Inverse problems for symmetric matrices with a submatrix constraint[J].Applied Numerical Mathematics,2007,57(5):646-656.

[5] LIAO A P,LEI Y.Least-squares solutions of matrix inverse problem for bi-symmetric matrices with a submatrix constraint[J].Numerical Linear Algebra with Applications,2010,14(5):425-444.

[6] DAI L F,LIANG M L.Generalized Inverse Eigenvalue Problem for (P,Q) Conjugate Matrices and the Associated Approximation Problem[J].Wuhan University Journal of Natural Sciences,2016,21(2):093-098.

[7] LI J F,Hu X Y,ZHANG L.Inverse problem for symmetric P-symmetric matrices with a submatrix constraint[J].Bulletin of the Belgian Mathematical Society Simon Stevin,2010,17(4):661-674.

(责任编辑 陈 艳)

SymmetricMSymmetric Optimal Approximation Solution of Matrix EquationATXA=C

XU Yu-xia, LEI Ying-jie, HOU Qiang

(School of Science，North University of China，Taiyuan 030051, China)

In the dynamic model updating, it usually needs to modify the stiffness matrix and the mass matrix to satisfy the orthogonal conditions. In this paper, they are modified by the study of their least-squares approximations. Then we obtain the symmetricMsymmetric least square solution’s ofATXA=Cby using canonical correlation decomposition in the symmetricMsymmetric matrices set; Based on this, by using the projection theorem and the generalized singular value decomposition, we get its symmetricMsymmetric optimal approximation solution of a given matrix.

symmetricMsymmetric matrices; projection theorem; canonical correlation decomposition; least square solution; optimal approximation solution

2016-12-18 基金项目：国家自然科学基金青年基金资助项目(11501528)

徐玉霞(1991—)，女，河北衡水人，硕士研究生，主要从事组合矩阵理论及其应用的研究，E-mail:1554760759@qq.com。

徐玉霞，雷英杰，侯强.矩阵方程ATXA=C的对称M对称最佳逼近解[J].重庆理工大学学报(自然科学)，2017(3):143-150.

format：XU Yu-xia, LEI Ying-jie, HOU Qiang.SymmetricMSymmetric Optimal Approximation Solution of Matrix EquationATXA=C[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(3):143-150.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.03.022

O175.13

A

1674-8425(2017)03-0143-08