数学思想方法视阈下线性代数课堂教学的实践与探索(Ⅰ)

李 超，乔希民，罗俊丽

(商洛学院 数学与计算机应用学院，陕西 商洛 726000)

【教育教学方法研究】

数学思想方法视阈下线性代数课堂教学的实践与探索(Ⅰ)

李 超，乔希民，罗俊丽

(商洛学院 数学与计算机应用学院，陕西 商洛 726000)

以中国数学思想史料为立足点，结合线性代数课堂教学实践，分析《九章算术·方程》中方程术及其初等变换的思想方法，讨论数学问题和思想方法驱动下线性代数课堂教学的研究型教学模式，旨在培养学生研究问题的基本方法和保持深厚的兴趣与志趣，全面提升运用数学思想方法解决问题的能力。

线性代数；数学思想方法；九章算术；初等变换法

一、问题的提出

数学教育教学质量的提高备受国际社会关注，在我国显得尤为重要与突出。1958年,美国总统艾森豪威尔受苏联人造卫星上天之震惊，认识到美国科学技术落后于苏联的主要原因是：美国数学科学发展与创新滞后，归根结底是中小学数学教育教学与大学的数学人才培养问题，便形成了自上而下的一系列数学教育改革行动计划。其数学教育改革与创新的信念始终如一，并得到历届总统的秉承与发扬光大。奥巴马在竞选美国总统时就提出了：优先发展数学和科学教育，增加高质量的课外教育机会，提高教育质量，应对辍学原因。[1]18

在我国,从2007年教育部的《关于进一步深化本科教育教学改革全面提高教学质量的若干意见》到教育部2016年教育工作着力要点仍为提高教育质量，说明教育教学质量的提高乃是长期艰巨任务和当务之急。当然，大学数学教育教学的质量问题、数学教育教学理论的探究与实践也不例外。

我们认为：数学教育的本质是数学教育工作者采用各种方法、方式、手段与途径，以帮助学生数学能力与水平的发展和提高的教育教学理论，其终极目标是培养人的理性精神和推动社会进步。大学数学教育教学更能体现：如何促进学生深度学习先哲们的思想；如何发展学生的思想自由和学术独立；如何创新；如何在深刻理解先哲们理论思想方法的基础上，理性质疑反思的批判性继承。也就是说，学生或许忘记了具体的数学理论知识，但数学学习中的独立思考和思维品质，批判性思维和理性精神，将影响着他们的做人做事方式，也许会像数学家一样生活、一样思考。本文将结合线性代数具体教育教学过程，探索基于数学思想方法的线性代数课堂教学的创造性思维与研究型教学模式，实现构建数学美的欣赏和理性批判精神融为一体的理想课堂，以期为提高大学数学教育教学质量而抛砖引玉。

二、数学思想方法概述

1.思想与数学思想辨析

《辞海》中对“思想”的注释为：(1)思考,思虑；(2)想念，思念；(3)亦称“观念”。思维活动的结果，属于理性认识。人们的社会存在决定人们的思想、具有相对独立性、对社会存在有反作用。《现代汉语词典》(第六版)将“思想”解释为：(1)客观存在反映在人的意识中经历思维活动而产生的结果；(2)念头，想法；(3)思量。

由此可见：思想可以解释为客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果，即认识的高级阶段，属于理性认识。

数学思想是人们进行数学活动与数学思维的结果，是对客观事物与现实世界的数量关系与空间形式在人们头脑中的反映，是数学中的理性认识，是数学知识的本质的高级抽象和概括性认识。亦泛指某些有重大意义的、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果，以及对数学对象、数学研究的本质及数学规律性的认识。

2.方法与数学方法辨析

《辞源》中对“方法”的注释为：(1)量度方形之法；(2)办法；(3)方术，法术。

《现代汉语词典》(第六版)对“方法”的解释为：关于解决思想、说话、行动等问题的门路、程序等。

综上所述，方法是一种元概念，是为达到某种目的而采用的途径、步骤、手段、操作方式等。

数学方法是指从数学角度提出问题、分析和解决数学内部问题与实际问题过程中的手段、概括性策略。

3.思想方法与数学思想方法

《辞海》对“思想方法”的诠释为：人们研究问题和认识世界的方法，是对认识能力和思维能力具有重要影响的因素。在不同的科学领域存在着各具特点的思想方法，哲学则提供普遍的思想方法。

数学思想和数学方法统称为数学思想方法，两者基本关系表现为：(1)数学思想的本质是指导思想，具有独立性，而数学方法的实质是操作过程，具有实践性与可行性。由此可见，两者是层次不同的基本概念。数学思想指导数学方法，数学方法体现数学思想。(2)在具体数学问题解决过程中，数学思想能够促使人们主动寻求、自觉运用有效的数学方法，使人们正确把握解决数学问题的方向，如果选择了有效的数学方法，那么不仅使数学问题得以顺利解决，而且还能使人们在更高层面上深刻领悟数学思想。(3)数学思想和数学方法在实际使用时常常不加区别。[2-4]

三、线性代数中的数学思想方法

美国数学家哈尔莫斯(P·R·Halmos)曾经说过：“数学家存在的主要理由就是解决问题。”数学教育家G·波利亚的观点是：“掌握数学就是意味着善于解题，不仅善于解一些标准题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题。”基于此，本课题将以线性代数中典型问题解决为立足点，较为系统地探讨线性代数教育教学中的数学思想方法。而本文因篇幅所限，仅讨论中国传统数学典籍《九章算术》中的方程术思想方法。

“以古为镜，可以知兴替”。法国数学家庞加莱认为：“如果我们希望预知数学的未来，最合适的途径就是钻研这门科学的历史和现状。”在领悟中国传统数学所取得丰硕成果的《九章算术》时，我们深深感悟到其初等变换思想方法贯穿于整个“线性代数”课程中。例如，“方程”章中所讨论的方程，相当于Gauss消元法求解线性方程组。但其思想方法是将线性方程组化为等价的简单线性方程组要用初等变换思想方法。而初等变换思想方法在计算行列式、判断向量组的线性相关性、计算矩阵的秩、求逆矩阵、求矩阵的特征值和特征向量等方面体现得淋漓尽致。我们以此为切入点，设计了适合于学生的“矩阵”概念建立的教学方案[5]，现再给出一种教学设计。

(1)史料性引入：我国秦汉时代成书的《九章算术》，是传统中国乃至古代东方极其重要的数学典籍，在西学东渐之前一直是中国与东亚国家的数学教科书，历经千年而不衰。《九章算术》的具体作者不详，而其中某些内容可上溯至先秦时期，据此或可以认为它是经过历代名家(例如刘徽、祖冲之父子、李淳风等大数学家的注释)的不断增补修订而逐渐成为现今定本的“集体作品”。全书问题共分9类，故名曰《九章算术》。现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年(公元263年)刘徽为《九章算术》所作的注本。《九章算术》今译本及注，首推中国科学院自然科学研究所的古代数学史学家郭书春的贡献。[6-9]《九章算术》最高的数学成就为方程术，所谓方程术就是现今的线性方程组的解法。其中第一问提出的方程术是全章的纲。[9]

(2)原文(借助多媒体课件，仅展示题文与答曰)：《九章算术》卷第八[7-8,10-11]第1问题：

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何?

答曰：上禾一秉九斗四分斗之一，中禾一秉四斗四分斗之一，下禾一秉二斗四分斗之三。

(3)译文(借助多媒体课件完成)：现有上等禾3捆，中等禾2捆，下等禾1捆，共有实39斗；上等禾2捆，中等禾3捆，下等禾1捆，共有实34斗；上等禾1捆，中等禾2捆，下等禾3捆，共有实26斗。问：上、中、下等禾每捆的实各是多少？

(4)“方程术”列表法 (原文、译文、算筹表达式(用阿拉伯数字代替“筹”)、今布列方程组)[7-8,10-11]，见表1：

表1 “方程术”古今对照表

续表1

原文译文算筹表达式今方程组然以中行中禾不尽者徧乘左行,而以直除以中行中间的那个不为0的数,遍乘左行各数,再由左行连续减去中行各对应数,即5×⑦-4×⑤得⑧⑧ ⑤ ① 上中下实0030523611992439éëêêêêêùûúúúúú左 中 右 3x+2y+z=39,5y+z=24,36z=99,{①⑤⑧左方下禾不尽者,上为法,下为实,实即下禾之实左行中第三个数不为0,以它为除数,最下面的一个数为被除数,作除法,所得的结果11就是下禾的分子(实),4就是下禾的分母9936=114(斗)⑨ ⑤ ① 上中下实003052411112439éëêêêêêùûúúúúú左 中 右 3x+2y+z=39,5y+z=24,4z=11,{①⑤⑨求中禾,以法乘中行下实,而除下禾之实若求中禾,以下禾的法(分母4)遍乘中行,减去左行各元素,即⑤×4-⑨得⑩⑨ ⑩ ① 上中下实0030202401118539éëêêêêêùûúúúúú左 中 右 3x+2y+z=39,20y=85,4z=11,{①⑩⑨余,如中禾秉数而一,即中禾之实其余数除以中行中禾乘数便得中禾之实,即85÷20=17÷4里的17即中禾的实(中禾的分子)⑨ ① 上中下实003042401111739éëêêêêêùûúúúúú左 中 右 3x+2y+z=39,4y=17,4z=11,{①⑨求上禾,亦以法乘右行下实,而除下禾、中禾之实若求上禾,用左行上面的法(分母)遍乘右行,然后逐次减去左行中行的对应元素,使右行中间两数为0,即4×①-2×-⑨⑨ 上中下实00120404001117111éëêêêêêùûúúúúú左 中 右 12x=111,4y=17,4z=11,{⑨余,如上禾秉数而一,即上禾之实所得余数,除以右行上禾的乘数,即得上禾之实,即12与111约分得374,37就是所求上禾之实(分子)⑨ 上中下实004040400111737éëêêêêêùûúúúúú左 中 右 4x=37,4y=17,4z=11,{⑨实皆如法,各得一斗将上、中、下禾之实(即分子)皆以“法”(分母4)除之,得出各禾每束稻禾斗数x=914(斗),y=414(斗),z=234(斗)。ìîíïïïïïï

(5)反思：1)《九章算术》首次提出一般线性方程组的初等变换求解方法。在宋代秦九韶《数书九章》第9章第2题四元线性方程组用中国数码记录了解题的筹算15个计算式的全过程，清代梅文鼑《方程论》卷5的线性方程组90题，则把题设数据写成矩阵，变为三角矩阵后再回代。[12]286-3002)《九章算术》中“方程”就是方形的表达式，与现行的增广矩阵相似。“方程术”相当于现代的加减消元法或矩阵初等变换。“直除”法为开创行列式与矩阵等概念提供了基本数学思想方法。3)Gauss消元法是解一般线性方程组的主要方法，但由上述问题的求解过程可得到：Gauss消元法应称为“中国消元法”。4)本问题既可作为“矩阵”概念建立或矩阵初等变换法的引入课[5]，也可作为线性方程组的引例。5)问题的情境创设理应体现数学思想方法的再创造。6)用《九章算术卷八》问题1替代教材中的“高斯消元法”，以提升学生数学学习的兴趣与好奇心。

四、结语

大学非数学专业数学教育的宗旨是：(1)全面促使学生经历数学基本理论的学习，掌握研究问题的基本方法，形成初步的科研能力；(2)运用所学数学基本理论知识解决实际问题的能力；(3)进一步强化学生理性质疑反思的批判精神。事实上，要实现这些目标，需要全面系统地将数学思想方法落实在具体的数学教育教学活动中，这将是我们继续探讨的课题。

[1] [美]《教育周刊》.奥巴马的教育蓝图[M].范国睿，译.北京:教育科学出版社,2010.

[2] 傅海伦,贾冠军.数学思想方法发展概论[M].济南:山东教育出版社,2009：5.

[3] 杨启贤.数学思想方法解读[M].郑州:河南大学出版社,2012：4-8.

[4] 徐利治.数学方法论十二讲[M].大连:大连理工大学出版社,2007：2-14.

[5] 乔希民.发现教学法在线性代数课堂教学中的实施策略[J].贵阳学院学报(自然科学版),2016,(2):62-65.

[6] 郭书春.中国科学技术史·数学卷[M].北京:科学出版社,2010：247-251.

[7] 郭书春.九章算术新校[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2014：327-331.

[8] 刘徽注,李淳风.九章算术[M].郭书春，校勘并译注.道本周,徐义保，英译并注.沈阳:辽宁教育出版社,2013:904-924.

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[11] 曹纯.九章算术译注[M].上海:上海三联书店,2015：280-285.

[12] 沈康身.历史数学命题赏析[M].上海:上海教育出版社,2002.

【责任编辑 曹 静】

Practice and Exploration about Linear Algebra Class Teaching in Mathematics Thinking Method (Ⅰ)

LI Chao, QIAO Xi-min, LUO Jun-li

(College of Mathematics and Computer Application, Shangluo University, Shangluo 726000, China)

Based on China’s history of mathematical thought, by linear algebra class teaching practice, the paper analyzes the “Nine Chapters on the Art of Mathematics” equation technique and the thought method of elementary transformation, and discusses linear algebra research teaching mode of classroom teaching driven by the mathematical problems and the thought method, in order to cultivate students’ basic methods of the research and students’ strong interest and curiosity, to improve the ability to solve problems by mathematics thinking method.

linear algebra; mathematical thinking method; Nine Chapters on the Art of Mathematics; elementary transformation

G642

A

1009-5128(2017)06-0025-05

2017-01-18

陕西省高等学校教学改革研究重点资助项目：新建地方本科院校转型发展的内涵及途径研究(15BZ62)；陕西省自然科学基础研究计划项目：区间集上基于非交换剩余格的广义fuzzy滤子的研究(2013JM1023)；陕西省社科界重大理论与现实问题研究项目：构建区域性全民终身学习体系和学习型社会的研究——以商洛市为个案(2014Z090)

李超(1965—)，男，陕西镇安人，商洛学院数学与计算机应用学院教授，主要从事大学数学教育与基础数学研究。