巧用直线参数方程妙解高考题

河北南宫中学(055750) 霍忠林

巧用直线参数方程妙解高考题

河北南宫中学(055750) 霍忠林

解析几何中动直线过定点问题,是高考中一种常见的题型.这类问题切入点宽、灵活度大、计算繁琐、耗时费力.不少学生常常缺乏解题策略,导致考场上半途而废,得分率很低.本文巧用直线的参数方程求解2016年高考数学的几道压轴题,过程简洁,易于接受.下面,举例说明直线参数方程的巧妙应用.

一、知识回顾

(1)过定点M0(x0,y0),倾斜角为θ(0≤θ≤π)的直线参数方程的标准形式为,其中|t|表示直线上的动点M(x,y)到定点M0(x0,y0)的距离,即：|MM0|=|t|.

(2)过定点M0(x0,y0)的直线(t为参数)与二次曲线f(x,y)=0相交于A,B两点,A,B两点对应的参数分别为tA和tB,则弦长|AB|=|tA-tB|.

(3)过定点M0(x0,y0)的直线参数方程的一般形式为(t为参数,a,b/=0),其中|t|表示直线上的动点M(x,y)到定点M0(x0,y0)的距离的倍,即：.

(4)过定点M0(x0,y0)的直线(t为参数,a,b/=0)与二次曲线 f(x,y)=0相交于A,B两点,A,B两点对应的参数分别为 tA和 tB,则弦长.

(5)过定点M0(x0,y0)斜率为k的直线参数方程可设为.

二、应用举例

1.用于证明命题

例题1 (2016年四川高考理科 20题)已知椭圆E:=1(a＞ b＞ 0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.

(I)求椭圆E的方程及点T的坐标;

(II)设O是坐标原点,直线l′平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明：存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.

例题2 (2016年四川高考文科 20题)已知椭圆E:=1(a＞ b＞ 0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点在椭圆E上.

(I)求椭圆E的方程;

解析(I).

同理可得：

所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.证毕

2.用于求弦长

例题3 (2016年新课标乙卷(理科)20题)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.

(I)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;

(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.