一道最值问题的多角度思考及教学启示

陕西省西安中学(710018) 陈昭亮

一道最值问题的多角度思考及教学启示

陕西省西安中学(710018) 陈昭亮

题目如图所示,A是一座小岛,海岸线上一点P的正东方向12km处是城镇Q,AP⊥PQ, AP=2km,假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h,人在海岸线上步行的速度为5km/h,试问此人从小岛A出发到城镇Q所用的最短时间是多少?

图1

对于这道最值问题,常规的解题思路是通过建立函数模型,并求出最值.但解题时有两个制约学生思维的“关隘”,一是要选择合适的变元作为自变量;二是在得出函数解析式后,用什么方法求出这个函数的最值.经过笔者的研究发现,本题的解题入口宽,方法多,是考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题能力的一道好题,具有较高的研究价值.本文就此题进行了多角度的思考并谈几点教学启示.

1试题的多角度思考

思路1 本题最容易想到的是选择线段长为自变量.设此人在海岸点B处靠岸,点B到点 P的距离BP=xkm,则BQ=(12-x)km,,又设小岛到城镇所需要的时间为t小时.则t与x间的函数关系式为,即.这是一个无理函数的最值问题,我们要想办法把解题障碍—根号去掉,以实现问题的转换.我们可设,这样当y取最小值时,t最小.由得,两边平方整理得

因方程有实根,所以有

思路2 对于思路1中求无理函数

的最值这一难点,我们也可以考虑用导数的方法进行.考虑

又本题在0＜x＜12内只有一个极值点,据题意本题有最小值,故当x=时,.下同思路1.

思路3 本题中点 B的运动,除了用思路 1中的设BP=xkm之外,我们还可以看到点B的运动也导致了∠PAB的大小变化,所以也可设∠PAB=x,则 PB=2tanx,,从而BQ=12-2tanx,故

思路4对于思路3中的核心步骤求函数的最小值,观察这个式子的结构是比值型,就联想到斜率公式的模型,该式可看做是经过点M(-cosα,3sinα),N(0,5)的直线斜率,因为α为锐角,所以点M(-cosα,3sinα)位于椭圆落在第二象限的曲线上.

如图2可知,当直线MN与椭圆相切时,斜率最大,又椭圆在点M(-cosα,3sinα)处的切线方程为9x(-cosα)+3ysinα=9,又因为此切线经过点N(0,5),将点N(0,5)的坐标代入得 sinα =,所以tanα=,所以PB=2tanα=时,tmin=.

图2

2解题给我们的教学启示

2.1 重视通性通法,淡化特殊技巧

高中数学新课程理念告诉我们：要与时俱进地认识“双基”.我国的数学教学具有重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传统,新世纪的高中数学课程应发扬这种传统.与此同时,随着时代的发展,数学课程设置和实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵,形成符合时代要求的新的“双基”.因此,我们在教学中要注重通性通法,淡化特殊技巧,力求让学生熟练掌握解决数学问题的常规方法.

思路1和2看似计算复杂,但在考试中可能是最容易想到的很自然的思路,同时,我们看到此解法也恰恰体现了试题对数学基础知识、数学基本思想方法和运算求解能力的考查.因此,我们不能借口高考从“知识立意”转变为“能力立意”而忽视基础知识、基本技能和基本数学思想方法.尤其在试题的讲评与训练时,要让学生充分体会其中蕴涵的数学思想方法,熟练掌握解决一些常规数学问题的通性通法.

2.2 强调数学本质,提升应变能力

在数学教学中,学习形式化的表达是一项基本要求,但是我们不能只限于形式化的表达,更要强调读懂数学,其实就是强调对数学本质的认识,否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里.此题如果学生能清晰地理解解析几何的本质,那么想到思路4的也就显得很自然.数学是一门思维的学科,学生只有在思维的过程中才能加深对数学本质的理解.我们的教学如何才能以不变应万变,这就要求我们在教学中要充分揭示数学思维的全过程,培养学生的理性思维,引导学生关注题后的反思和拓展,强调数学本质,以提升学生的思维品质.

2.3 关注知识交汇,提升综合能力

思路3当看到点B的运动,也导致了∠PAB的大小变化,所以设∠PAB=x,从而把问题转为三角函数的最值问题.真是联想丰富,解法有创意.近年来体现在数学知识交汇处的试题经常出现,这类题目对学生综合运用数学知识解决问题的能力要求较高.例如,我们把代数中求函数值域的问题可以转化到几何中求距离或斜率的问题;几何中的距离或最值问题也可以通过三角问题或函数的知识来解决;立体几何中空间角、距离可以通过空间向量的方法来解决;解析几何常常与平面向量结合在一起.所有这些都体现了数学中各个分支其实是一个有机的整体.因此,我们在教学中要重视设计知识交汇处的例习题,充分挖掘知识点的内涵,通过变换条件、结论来设计一题多变、一题多问、一题多解,创设开放性数学情境,引导学生发挥联想,从多角度、多维度去考察问题,提高学生分析和解决问题的能力.

2.4 突出数学思想,提升数学素养

高中数学新课程标准告诉我们：“数学教学要体现课程改革的基本理念,在教学中要引导学生积极主动地学习,掌握数学的基础知识和基本技能以及它们所体现的数学思想方法,发展应用意识和创新意识,对数学有较为全面的认识,提高数学素养.”数学教学的根本目的是培养学生的数学思想,提升学生的数学素养,通过数学学习,使学生能用数学的思考方式去观察问题、分析问题和数学地解决问题.