试论“锐角三角函数”一节的教材与教法

冯兴进　肖劲森

【摘要】 在观摩初中“锐角三角函数”同课异构实际教学的基础上，就现行人教版数学教材对初中“锐角三角函数”一节的内容设计和教师的实际教学进行讨论，并给出相应的改进方案，供各方数学教育工作者比较、参考.

【关键词】 人教社；锐角；三角函数；教材；教法

【资金项目】 广东省高等学校优秀青年教师培养计划资助项目（NO.YQ2015117）.

一、引言部分

目前初中数学课堂普遍存在受考试指挥棒支配的现象，教师惧怕自己带的学生考试成绩掉下来，义无反顾地沿用传统的教学方式——教学过程中重结论轻过程，然后，重复演练大量与考试同类型的题目.在新授课中，教师大多将数学作为一个已有的结论进行传授，学生唯一有机会进行的思维活动就是解决教师为他们所安排的应用问题.当下，为了培养学生创新思维，更是受新课标的理念影响，一些教材以及部分一线教师渐渐地尝试设计一些探究式教学.数学探究式教学就是一种以数学问题探究为主的教学方式.具体地说是指学生在教师所创设的情境下，通过观察、实验、操作、调查、信息搜索、合作与交流等数学活动，并经过反思与重组而构建新知识，发展情感与态度，培养学生用归纳、类比和猜想等合情推理的方法探究数学结论，用演绎推理的方法对结论做出证明，最后，对结果和解决问题的思维过程进一步的反思与交流.

锐角三角函数一节属于数学概念课.正如文[2]所说，任何一个重要概念都应该说清楚如下几件事：（1）概念是怎么产生的？（2）如何恰当地定义一个概念；（3）概念的内涵是什么.换弗莱登塔尔的话来说，也就是应该把学生当作数学家看待，让学生通过再创造来学习数学而不是因袭和仿效，更不是把数学概念作为现成的产品强加给学生.用新课改中的三维课程目标来说，就是在落实三维目标的过程中，要以“知识与技能目标”为主线，渗透“情感、态度、价值观”，并充分体现在学习探究的“过程与方法”中.新课标的课程理念指出，数学教学活动应激发学生的兴趣，调动学生的积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维，要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法.

二、主题背景

探究式教学要使得学生学习的过程中含有直接创造的侧面，更不能为了探究而探究，实践也表明，并不是所有的数学知识都适合探究式教学.在课堂中实行探究式教学的初衷应该是为了突破教学的重点、化解教学的难点.这是三维目标中的“过程与方法”，目的是为了在这个探究过程中达成“知识与技能”和“情感态度与价值观”的目标.无论是教材还是教师，尝试实行探究式教学的初衷肯定是非常值得赞赏的，但在具体的设计中难免存在一些值得我们商榷的地方.以下是摘自人教版初中九年级数学下册第二十八章“锐角三角函数”的内容[1]：

教材通过一个实际问题和一个学生已学定理（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）很好地把锐角三角函数所讨论的三角形定型为直角三角形.这种巧妙的引入虽然降低了锐角三角函数知识引入的难度和时间，但是丧失了它原有的数学思想性.本章的标题为锐角三角函数，任何三角形都会存在锐角，课本却选择了这种直奔直角三角形的形式，虽然奔得巧妙，但把锐角三角函数知识的广泛适用性埋没了，从而把学习锐角三角函数的必要性和重要性也隐藏了，更是阉割了锐角三角函数产生和形成的过程性.

随后，教材继续通过两个思考题的进一步引导和深入研讨，给出了一个问题：“当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？”然后，进入了探究环节.看似探究其实就是一道证明题，看似可以探究其实只能进行验证，因为也只有演绎推理能为该问题下定论.

就锐角三角函数一节，教学上真正的难点甚至真正的教学内容并不是学生是否接受正切、正弦和余弦的值是不是三角形某边与某边的比值，而是在数学发展的长河中，我们人类是如何注意到把某边与某边进行联系起来的.例如，正弦，是什么东西在提示我们注意到用对边与斜边进行比值运算.这也正是锐角三角函数一节要引导学生进行探究的出发点和主要内容.以至后面内容在丝毫不体现函数特征的情况下就干脆对正弦、余弦和正切硬性规定为锐角三角函数.这些都显示了新课改之后，我们的教材并没有摆脱急于呈现数学知识，急于让学生利用数学知识解题以便应付考试的传统.这样是明显实现不了新课改中的三维课程目标的，至多算是新潮一点的舊双基教育.

教材是教师最先接触的知识载体，在具体运用中，教师对教材的处理也会显示出自己的创造性和批判性.但就一些观摩课来看，授课教师在教材处理上要么顾此失彼，要么只是进行机械性弥补.例如，有的教师引导学生分小组探究不同的直角三角形的锐角所对的直角边与斜边的比值、小组内探究固定锐角所对的直角边与斜边的比值是否是固定的，但是，由于人为误差造成在探究中固定角度所对的直角边与斜边的比值并非是一个稳定值，所以，教师实际课堂上只能引导学生猜测其为稳定值，随后再证明其为定值.这一环节相比于教材，引入得更为快速和简洁.但这位教师这样的探究安排更多是为了后面在小组之间的探究中发现这样一个比值是会随着角度的变化而变化的，从而凸显锐角三角函数中的函数特征，最终使得学生形成锐角三角函数的概念（如下图①）.这一点是比教材更好的.再如，也有的教师按教材的设计得出锐角三角函数概念之后，再跟学生一起讨论为什么该函数要在直角三角形的前提下（如下图②）给出定义.

①

②

三、再论“锐角三角函数”一节的教材与教法

以下是在对“锐角三角函数”一节原有的教材与实际教法进行研究分析的基础上，给出的新的教材与教法.对于教学，以下行文并非能直接采用的教案或教材，仅从教材和教法角度提供一些参考、比较和启示.

三角学像其他数学分支一样，也不是任何一个人或一个民族的工作.公元前2世纪的三角学之父希帕克斯，亚历山大城的梅涅劳斯和托勒密在一定程度上也只是三角学的集大成者和开拓者.在数学史书上也难以寻找到三角学产生的最原始历程，往往也只是以一笔带过，就如下述一段文字所示：“三角学是一门非常古老的科学，这门科学在埃及达到了高度的繁荣.由于两门重要学科的需要促进了它的发展，天文学的需要产生了球面三角理论，大地的测量需要产生了平面三角的理论.”仅此而已.

其实，对于平面三角的创造，可以追溯到约公元前1650年古埃及的一部纸草书.由于纸草书的发现者，它又命名为《莱因德数学纸草书》，该草书中按顺序排列了85道题，其中56—60题的内容是涉及三角学知识的，是围绕金字塔的建造而展开的.如，

在金字塔的建造过程中，保持金字塔四个侧面相对于水平面的倾斜度不变是一个非常关键的步骤.由于在建筑学的实践中，测量随着高度增加而带来的水平偏离是更为容易进行的，所以草书中的4道题目都是关于底角的余切值而展开，并非正切、正弦和余弦.

这说明了古埃及人的初等三角函数知识是源于生活实践，更是说明了古埃及人在三角形边与角的联系上得到了实质上的认识.由于金字塔的建造随着高度的不断上升，在测量上得到的就是一系列的相似直角三角形（如下图）.实践表明，任意的三角形都可以分拆成至少两个直角三角形，这不仅仅体现前面学习的毕达哥拉斯定理的重要性，也体现我们将要学习的锐角三角函数的重要性.所以，金字塔的形状，我们可以进行如下的简化分拆.

在金字塔还停留在图纸中时，埃及人民是如何确定当金字塔顶从B点建造上升到B′时，B′点是否还与A，B两点共线的呢？我们可能会注意到，当△ABC与△A′B′C′相似且如图∠A与∠A′重合时，B′就必定还在A，B所在的直线上.

在人教版初中九年级数学下册第二十七章“相似”中，刚刚学习了相似三角形的相关知识，学生很清楚：两个三角形相对应的边相互成比例，那么两三角形就会相似.但是现在作为两个不是同时出现的三角形，后出现的三角形在建造中应该具备 什么属性或者按照什么数据进行建造，才会使得后出现的三角形成型后一定与先出现的三角形相似呢？（注意：对于金字塔的建造而言，我们几乎是不允许重来的）

这个属性肯定是某一组相似三角形所共有的，现将先后建造出来的金字塔分拆成一组相似三角形，如图△ABC～△AB′C′，由相似三角形的性质知：对应边成比例（如 AB′ AB = B′C′ BC ）.这种相似三角形之间边的联系（ AB′ AB = B′C′ BC ）很好地把其中一个三角形的属性传递给了另一个与它相似的三角形，这个属性的真面目是 BC AB = B′C′ AB′ .那也就是说，相似三角形自身都会有一个属性k= BC AB = B′C′ AB′ =….

所以，对于先后出现的△ACB，△AC′B′，△AC″B，我们容易有如下的结论：

所以，只要在建造中，不断地满足这个属性，那么无论得到的三角形有多大规格有多少数量，它们都是相似的，只要相似，那么各个塔顶B，B′，B″，…就肯定在同一直线上.

我们不妨把这个属性归纳并定义为：

以∠A为参考系，它的对边与斜边的比叫作∠A的正弦.记作sinA，即

sinA= ∠A的对边 斜边 = a c .

對于我们选定的参考系∠A来说，已知sinA= ∠A的对边 斜边 = a c ，我们约定c边是不变的（如上图），也就是说随着∠A大小的变化，只有a边在变化，那么对某特定大小的∠A，我们也就有某特定长度的对边a，也就有了某一特定的比值 a c .从函数的角度看来，我们可以称这种以∠A为自变量（由于初中还没有引进角的弧度制，我们在此也完全可以把自变量的本质解析为相似三角形中变化的边长），∠A的对边与斜边的比值为函数值的函数为∠A的锐角三角函数.

我们可以得到另一个类似的属性，不妨归纳并定义为：以∠A为参考系，∠A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦，记作cosA，即

同理，我们还可以得到相似三角形的第三个属性：以∠A为参考系，∠A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作tanA，即

同样，正切也是一个函数，我们都称它为∠A的锐角三角函数.

【参考文献】

[1]义务教育课程标准实验教科书·数学（九年级下册）[M].北京：人民教育出版社，2009.

[2]何勇，曹广福.数学课堂如何兼顾学生数学素养与应试能力[J].数学教育学报，2014，23（2）：67-69.