将数学建模思想落到实处

2017-03-24 21:24沈国酰
数学教学通讯·小学版 2017年1期
关键词:数学建模思想落实

沈国酰

摘 要:数学建模思想在替换策略教学过程中表现得尤为突出。只有真正明确为什么替换、替换的共性、从特殊到一般的应用等,才能将数学建模思想落在实处,让学生易于理解与掌握。

关键词:替换策略;数学建模思想;落实

建模思想在数学教学中十分重要,是小学数学解决问题教学的方向。建模是主要针对传统数学教学的抽象化,忽视数学知识脱离学生现实生活而提出的。然而,现实数学教学过程中,部分教师没有透彻地领会数学建模思想的意义,在平时的解决问题教学中,往往停留在建模的表层,没有深入到建模的本质,教学效果大打折扣。本文主要以苏教版小学数学“解决问题的策略(替换策略)”为例,通过比较、分析一位执教老师修改前后的教学设计片段(下简称“初备片段”和“再备片段”),说明如何将数学建模思想落到实处。

一、数学建模的实质:从“怎么换”到“为什么换”

【初备片段一】

师:(课件出示2架天平图,图1天平平衡,左盘有1个苹果,右盘有2个梨;图2天平平衡,左盘有1个苹果和2个梨,右盘是400克的砝码)(指图1)仔细观察这架平衡的天平,左盘装有苹果,右盘装有梨,请大家思考:从这架平衡的天平上,你能发现一个苹果与一个梨的质量存在哪种关系?

生:一个苹果的质量等于2个梨的质量,或者一个梨的质量是1个苹果质量的一半。

师:很好,即1个苹果质量是1个梨的2倍。你能求出它们各自的质量吗?

学生回答:1个苹果重200克,1个梨重100克。

师:能说一下你是怎样思考的吗?

生1:我是这样想的,可以把图1左盘中的那个苹果换成2个梨,这样可以推算出4个梨的质量是400克,一个梨的质量是100克,进而推算出一个苹果的质量是200克。

生2:我与他的想法基本一样,但我是将图2左盘中的2个梨换成1个苹果,可以看出,2个苹果的质量是400克,1个苹果的质量是200克,很容易地算出1个梨质量是100克。

依据学生的回答,教师随时用课件动态演示上述两个学生的思考过程。

师:刚才同学们用的是“换一换”的方法,这在解决数学问题过程中非常重要,这种策略通常被称为“替换”。同学们都读过“曹冲称象”的故事,1700多年前,曹冲小朋友就已经会用这个“替换的策略”了。(课件出示曹冲称象的图)

师:曹冲是怎么称大象的质量的?

生:是用石头替换大象。

【再备片段一】

师:(课件出示3幅天平图)请同学们仔细观察三幅天平图,说一说你分别能求出什么?

生:能求出第一个天平的每个苹果重150克,因为2个苹果重300克;第二个天平上5个橘子重600克,所以能求出每个橘子重120克;第三个天平上6个x重1200克,能求出每个x重200克。

师:观察得很仔细,说得也很好。同学们,有没有发现这三幅图有什么相同之处?

生:这三幅图都是求一个东西的质量是多少?

师:好,在数学上,我们把同一种东西又称为“同一种量”。对同学们来说,像这样求一种量的每份是多少,十分简单。(出示另一幅天平图)请大家仔细观察,现在的天平与刚才的三幅有什么不同?

生:现在天平左盘装有1个梨和1个苹果,右盘是240克的砝码,说明1个梨和1个苹果共重240克。

师:有谁能推算出1个梨和1个苹果分别重多少克吗?

生:不能,现在是两个不同的东西了。

师:说得好。两个不同的东西在数学上又可称为两种不同的量。那你们想想怎么才能求出1个梨和1个苹果分别重多少克呢?

生:如果知道苹果的质量是梨的几倍就可以把苹果变成梨了。

师:是呀,这样又可以变成同一种量了。

师:由于提供的信息不同,替换的方法也不相同,但它们有一个共同之处,你发现了吗?

生:就是把不同的量换成同一种量。

【分析】

比较“初备片段一”和“再备片段一”这两个教学片段,可以发现初备和再备的教学都是从学生熟悉的生活经验出发,让学生经历从现实生活发现数学问题并解决的过程。然而,对于“替换”策略的教学,初备和再备存在着明显的不同。“初备片段一”的教学设计重点在于“怎么换”,直接使用两架天平图,让学生观察、发现存在的数量间的相等关系,然后进行等量代换,感知数学中的“替换”策略,后面附以“曹冲称象”的故事,再次加深学生对运用“替换”解决实际问题的印象。

而“再备片段一”的设计重点在于不仅强调替换方法的重要性,更让学生知道“为什么替换”。教学片段中,通过设置四幅天平图,让学生充分理解“替换”的本质,即由两种量转化为一种量,强化所建立的数学模型与学生脑中已有的数学模型存在的必然联系。

二、数学建模的理解:从“换的方法”到“换的共性”

【初备片段二】

出示例题:小明将720毫升果汁分别倒入6个小杯和1個大杯,大小杯都被倒满。已知小杯容量是大杯容量的,大杯和小杯的容量分别是多少?

师:读题后,你能直接求出大杯和小杯各自的容量是多少毫升吗?

学生思考后回答直接求是不行的。

师:思考一下,用刚才的替换策略能解决吗?请大家在练习纸上画出替换简图,然后列式解答,求出小杯和大杯的容量,最后和同桌进行交流。(学生画图、列式、计算、交流)

师:两种替换方法都能解决这个问题。替换策略真的可以帮助我们解决数学实际问题,请同学们思考一下,如果把例题中的一个条件改成“大杯的容量比小杯多20毫升”,还能替换吗?(学生纷纷猜测、画图、解决、交流)

学生汇报:用小杯替换大杯时,果汁总量增加,增加了720-6×20=840毫升;用大杯替换小杯时,果汁总量减少,减少了720-20=700毫升。

师:改变条件后的例题与原例题在做法上出现了什么不同?

学生总结:从上面的替换过程中可以看出,假如条件存在着倍数关系,那么替换后,杯子的总个数出现了变化。但是假如条件存在着相差关系,替换后,杯子的总个数却没有发生变化。

师:是啊,数学奥妙无穷!在“变”与“不变”中有着千丝万缕的内在联系。

【再备片段二】

师:(课件出示:小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯,结果全部倒满)请大家思考:如果想知道小杯的容量和大杯的容量,你认为还需要什么信息,怎么来解决?

生:还需要知道大杯和小杯的容量存在的关系。

师:能具体说一说要知道大杯和小杯的容量存在什么关系吗?

生:比如大杯的容量是小杯几倍,或者大杯的容量比小杯多几毫升等等。

师:老师提供两个关系:“小杯的容量是大杯的”和“小杯的容量比大杯少20毫升”。现在请同学们思考,要用什么方法解答这两个问题?请比较两种替换的不同点与相同点。(学生解答后交流汇报)

生:相同点是,不论大杯和小杯存在何种关系,都要把两种量替换为同一种量,才能解决问题。

【分析】

仔细分析“初备片段二”和“再备片段二”,容易看出两次的教学设计环节存在着共同点,就是在解决问题后,通过比较替换的方法强化对“替换”策略的理解。然而深入分析便发现两者存在明显的不同:“初备片段二”的设计,主要侧重于让学生比较替换方法的不同,即比较条件是倍数关系的替换和条件是相差关系的替换,前者杯子的总个数出现变化,后者杯子的总个数没有变化;而“再备片段二”的设计,不但让学生比较替换方法的不同,更让学生充分理解倍数关系的替换和相差关系的替换存在的共性,即把两种量转化为同一种量,切实把握住了用替换策略解决问题的本质。

三、数学模型的价值:从“特殊→特殊”到“特殊→一般”

【初备片段三】

出示三幅天平图,学生读图,图1天平的左盘放1个苹果,右盘放2个梨;图2天平的左盘放4个梨,右盘放1个菠萝;图3天平的左盘放1个苹果和1个菠萝,右边托盘是问号,不知要放什么。

师:如果让你在图3天平右边托盘中只放一种水果,注意是一种,你将怎样放?

生:在右边托盘中可以放3个苹果,或者6个梨,或者1.5个菠萝。

师:太好了。假如是放两种水果呢?

生:放两种水果,可以是2个苹果+2个梨,或者4个梨+1个苹果,或者是2个梨+1个菠萝。

师:同学们很聪明,能很快地说出答案。假如天平右边的托盘中是600克的砝码,这时天平达到平衡。你能推算出1个梨、1个苹果和1个菠萝各自重多少吗?(学生解决、交流汇报略)

【再备片段三】

师:课前我们讨论了船长的年龄问題,大家知道只根据牛羊的数量无法求出船长的年龄。如果添加一些数学信息,你能选用其中的信息算出船长的年龄吗?(课件出示:A. 船长和大副的年龄加起来105岁;B. 羊的平均年龄是3岁;C. 船上有1名船长,1名大副,5名船员;D. 最老的牛是5岁;E. 船长的年龄是大副的1.5倍;F. 大副比船长小21岁)

学生分组讨论,分别选A和E或者A和F,并用替换的方法解决问题、汇报结果。

师:数学信息不论有多复杂,只要理清信息之间的关系,问题就变得简单。同学们很好地用替换的方法解决了一些数学问题。说一说为什么要替换,替换时要注意什么?

生:替换都是把两种不同的量转化为同一种量,最终求出每种量分别是多少的方法。

师:如果问题中有两种以上不同的量,比如三种、四种、甚至更多,你又如何去解决呢?

生:理清这些量之间的关系,替换成同一种量逐个解决。

【分析】

数学建模的重要一环是通过建立数学模型,达到解释、应用与拓展的目的,即让学生应用模型解决实际问题,明确数学模型能够解决何种问题,感悟数学模型的价值,而不是单纯地让学生对模型的方法进行模仿或简单应用。“再备片段三”的设计真正实现了数学建模的意图。求船长的年龄问题设计,除了让学生知道能用数学模型解决一些实际问题,还要让学生清晰理解这类问题的数学模型结构,即要求两种不同的量,必须知道这两种量之间的关系,更重要的是让学生经历了用这个模型来解决更一般的问题,实现了“从特殊到一般”的拓展。而“初备片段三”的设计虽然也是对替换方法的应用,但这种应用只是“从特殊到特殊”的过程,没有很好地进行模型应用的拓展。

四、效果测评比较:从“勉强解决”到“得心应手”

当学习完并形成关于替换问题的数学模型后,进入巩固应用阶段。“初备”和“再备”的练习题是一样的。练习题设计如下:(1)2辆大客车和5辆小客车,正好载满100人,每辆大客车比每辆小客车多载8人,每辆大客车和每辆小客车各载多少人?(2)小华购买了3个数学本和1个铅笔刀共10.8元,一个铅笔刀的价格是一个数学本的6倍,求数学本和铅笔刀的单价各是多少?

在“初备”的课堂教学中,当练习题逐个出示后,只有少数学生能够独立解决,绝大部分同学经过讨论后得以解决,说明了数学模型在同学们头脑中建立得并不是太牢固,或者说并没有真正建立。遇到类似问题只是能“勉强解决”。

而在“再备”的课堂教学中,当出示这两个练习题后,绝大多数学生几乎异口同声地回答道:第一题属于相差关系的等量替换,第二题属于倍数关系的等量替换。学生们能够正确地将两题区分开来,说明在他们的头脑中已经建立起了这两种替换的数学模型。更重要的是,学生在运用数学模型解决这两道题时,还能发现,“载得多的”和“价格贵的”可以看作“大的”,而“载得少的” 和“价格低的”可以看作“小的”。明显看出,同学们运用刚学过的数学模型解决此类问题时变得更加“得心应手”了。

猜你喜欢
数学建模思想落实
国企纪委“监督责任”的研究探索
小学生如何通过自主管理来落实班级制度
浅析初中化学新课程理念落实的相关问题
将数学建模思想融入土建类专业实践教学中的探索与实践
数学建模的思想和方法的应用
教若三“点”成线 注定别开“生”面
浅论初中数学教学中的函数建模思想
在大学数学教学中渗透数学建模思想的思考
探究数学建模思想在小学数学教学中的应用
将数学建模案例思想融入高等数学教学中