证明数列不等式的几点做法

安徽省灵璧县第一中学 朱松

证明数列不等式的几点做法

安徽省灵璧县第一中学 朱松

将数列与不等式结合起来，难度会有所增加，因此有些同学对于此类试题常常感到无所适从．为了提高同学们求解此类问题的能力，下面举例分析．

一、分析法

例1数列｛an｝中，an=5n-4，证明不等式

例2已知数列｛an｝中，对一切n∈N+，有an∈（0，1），且+2an+1-an=0．

（2）Sn＜2a1（n∈N+），其中Sn为｛an｝的前n项和．

又0＜an＜1，故0

二、放缩法

数列的放缩问题是很常见的一类问题，也是学生感觉很难的一类问题，下面举例说明．

例3已知数列｛an｝满足an=3n-1，记T

该问题的放缩方法比较容易想到，证明的难度不大，可以将此题变式拓展，以便学生更好地掌握．

变式1已知数列｛an｝满足an=3n-1，记

事实上，我们发现要证的问题变为证明后面（n-3）项放缩后的和小于，而出现的情况是，因此我们有理由相信，应该把放缩的结论变为：且上式应该是一个恒成立问题，因此，可以通过确定λ的值（或范围）．这里还有一个问题：n是有范围的，而它的范围就是我们要考虑的从哪项开始放缩问题．因此，本问题中应该确定n≥3，此时λ≥

由值的比较可以肯定的是：在放缩的过程中，放得太大了，以致于求出来的值比要证明的值还要大，这时候及时调整放缩的式子很有必要．

三、构造数列

例4设数列｛an｝满足

（1）证明：|an|≥2n-1（|an|-2），n∈N*；

若实现了（1）（2）两部分的证明，对于任意n∈N*，一类数列有何共同特征呢？有（1）可知，|an|比离散指数型函数2n增长更快；由（2）知，当合起来有有界，且上确界是2．总括一句：当n∈N*，数列｛|an|｝为单调递增数列，从初值| a1|-2开始增长，达到一定程度时，有上界2．有了这样的一般认识，再回头去证明（1）（2），就不会感到对绝对值数列无所适从了．

因此|an|≥2n-1|an|-2），n∈N*．

证明（2），是在一定条件下探求|an|最大值为2，用极限的形式写就是n→∞，|an|→2，联想数列极限求法即证明n→∞，an→a，其关键是：∀ε＞0，使|an-a|＜ε，找N（ε）．找N（ε）方法有三种：直接法，放大法，限制法．而（2）正好属于限制法，即当成立．这属于纯数学证明问题，十分抽象．化解的方法如下：

任取n∈N*，对于任意m＞n，由（1）知，

由m任意性得|an|＜2．否则，存在n0∈N*，有|an0|＞2，取正整数an0|-2，这与（1）式矛盾．

综上，对于任意n∈N*，均有|an|≤2．

如果用图形解释命题结论这里从略．

四、柯西不等式或函数的视角

柯西不等式属新课标新加入的教学内容，它在证明代数不等式、几何不等式、三角不等式、比较实数大小、解方程、确定参数的取值范围、求最值等方面都有着广泛的应用，在使用柯西不等式处理问题时，必须依照柯西不等式的结构特点，恰当地选取两个数组，构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式证明、求解有关问题的目的．

例5已知数列｛an｝的各项均为正数，a1=1，对任意都成立．

（1）求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式；（答案：an=2n-1，bn= n，解答过程略）

（2）当k＞7，k∈N*时，证明：对任意n∈N*，都有

证法1（柯西不等式）：当x＞0，y＞0时，x+y≥2xy，当且仅当x=y时，取“=”．记

本解答中，注意到Sn中各分式的分母成等差数列，因此首尾等距离的两项分母之和为定值n+nk-1，因此以“倒序求和”为入手点，借用二元柯西不等式的变式放缩Sn，使其放缩后能求和．该方法虽然看似是二元平均值不等式的应用，但其思维来源在于二元柯西不等式的常见变形结构，对相关不等式的应用要求较高．不过也应清楚地认识到，此种首尾等距两项（倒序相加）相加再放缩的方法误差较大，可能出现放缩过头的现象．

本题还可以用n元柯西不等式的变形不等式证明：证法2：当ai＞0，i=1，2，…，n时，

此证明简洁干练，异常漂亮，能熟练运用柯西不等式的变形形式是解决该问题的关键，该方法该结论体现了数学的简洁美，展现了深刻的数学思维．

证法3（函数视角）：由导数知识易得，当x＞0时，有不等式x＞ln（1+x）成立，令

0，1，2，…，7n-1，

不等式x＞ln（1+x）（x＞0）是学习导数过程中非常常见的一个不等式，其应用广泛，对能力要求较高．因此，在日常教学中，教师要引导学生有意识地积累相关结论，形成解题经验．

不等式的证明形式方法多样，要掌握这些方法，理应先夯实基础，注重基本训练．只有打好了底子方能熟练应用，举一反三，八方联系，浑然一体．教学中应引导学生充分挖掘问题的解决方法，只有这样才能有效提高学生的解题能力，开阔解题思路，促进高效学习．