细致观察，大胆探究——例谈三角最值问题的几种求法

☉江苏省灌云高级中学 徐静

细致观察，大胆探究
——例谈三角最值问题的几种求法

☉江苏省灌云高级中学 徐静

三角函数是高中数学的核心知识点，由于其具有较强的灵活性，能全面考查学生的数学知识与能力水平，因此一直是各类考试的热点．而三角最值问题是函数最值问题的重要内容，从近几年的各类竞赛来看，颇受命题者的青睐，故应引起大家足够的重视．笔者通过平时的教学实践，将此类问题的一些想法整理如下，供大家参考．

一、利用基本不等式

本题条件描述的是两个角的正弦函数和余弦函数的关系，而且部分还跟两角和的余弦公式有关，可以将条件展开观察一下，所要求解的tanα与化简后的式子中的sinα，cosα是商数关系，我们可以进行“弦化切”的进一步化简．

解：由条件可得cosαcosβ-sinαsinβ=sinα sinβ，

通过化简整理后发现，此题适合用基本不等式来求最值，只是要注意合理地拆添项、凑常数，同时也要注意等号成立的条件，否则可能会陷入误区，得出错解．

对于形如y=sinxcos2x（或y=cosxsin2x）的三角式子求最值，也经常构造出“和一定”的形式，借助基本不等式．

例2设0＜x＜π，求函数的最大值．

解：先把函数式化为半角形式，得y=2cos2两边平方，得

y2=4cos4当且仅时，等号成立．

二、利用辅助角公式

本题温和，易于入手.辅助角公式同时也是高考的核心考点，体现出竞赛源于高考的原则.降幂公式、辅助角公式的灵活运用是解决此题的关键.

三、利用二次函数

对于形如y=asin2x+bsinx+c（或y=asin2x+bcosx+c）（a≠0）的式子求值域，经常用二次函数解决.我们可将它视为抛物线y=at2+bt+c（a≠0），在t=sinx∈［-1，1］时函数值的范围，当处达到一个最值，另一最值在“-1”和“1”之中距“较远的一点达到；当时，函数在区间［-1，1］上单调，其最值分别在两端点处取到.

四、利用三角换元

若三角式子中含有根式，则这类问题常常利用三角换元解决.这类问题内涵丰富，灵活多变，涉及知识点多，技巧性及综合性强，解法灵活且多种多样，对能力要求较高.

解：令t=sinx（-1≤t≤1），

又-1≤t≤1，故-1≤t≤1.

五、利用导数

故函数f（x）的取值范围为［0，2］.

对于非常规型函数，求导是求解最值的一种利器，

本题很好地体现了这一点.

六、利用数形结合

解：函数f（t，θ）=（t-cosθ）2+（t-sinθ）2可以看做点（t，t）和点（cosθ，sinθ）的距离的平方.在平面直角坐标系xOy中，函数f（t，θ）=（t-cosθ）2+（t-sinθ）2表示直线y= x上的点与单位圆x2+y2=1（第四象限，含端点）上的点之间的距离的平方，如图1所示.由图1知，点（1，0）或（0，-1）到直线y=x的距离最小，最小值到直线y=x的距离最大，最大值为

图1

所以f（t，θ）min=

通过对所求函数的表达式的观察，发现表达式具有较强的几何意义，从而实现数形联姻，将抽象的问题化为直观的问题，从而实现问题的求解.

七、利用降幂

形如y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x+d的一类三角题，先降幂，再利用辅助角公式解决，即化为

例8求函数y=3sin2x-2sinxcosx-cos2x的最值.

八、换元法

形如y=a（sinx±cosx）+bsinxcosx+c（或同时含有sinx± cosx与sinxcosx的函数），对于这类函数，我们可以用换元法，即令，解出sinxcosx=从而转化为t的二次函数的值域问题.

例10求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.

通过对以上例题的分析，对涉及三角的最值问题，虽然具有一定的灵活多变，但只要我们能结合题意，从实际出发，选取恰当的方法，就能使问题得到较好的解决.教师在平时的教学过程中，要注重学生的数学思想方法的生成、发展、内化、升华过程，以达到举一反三、触类旁通的效果.这样，就能成功破译各类试题的命题密码，并达到提高学生的各项能力和综合素质的终极目标.